Calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s-2}{2 s^{2}+2 s+\frac{7}{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
F(s)=\frac{s-2}{2 s^{2}+2 s+\tfrac{7}{2}}
e pede para calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Informações relevantes:
  • Temos o numerador \,s-2.
  • Temos o denominador \,2 s^{2}+2 s+\tfrac{7}{2}.
  • O objetivo é encontrar a função f(t) cujo Laplace é F(s).

Passo 2

Vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Faço fatoração por 2:
2 s^{2}+2 s+\tfrac{7}{2}=2\!\left(s^{2}+s+\tfrac{7}{4}\right).
Agora completo o quadrado dentro do parêntese:
s^{2}+s+\tfrac{7}{4}=\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{7}{4}-\tfrac{1}{4}\right)=\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\tfrac{3}{2}.
Portanto
2 s^{2}+2 s+\tfrac{7}{2}=2\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+3.

Passo 3

Faço a mudança de variável u=s+\tfrac{1}{2} (isso é só para enxergar o deslocamento). Então s=u-\tfrac{1}{2} e o numerador vira
s-2 = u-\tfrac{1}{2}-2 = u-\tfrac{5}{2}.
Assim
F(s)=\frac{s-2}{2 s^{2}+2 s+\tfrac{7}{2}}=\frac{u-\tfrac{5}{2}}{2 u^{2}+3},
onde u=s+\tfrac{1}{2}.
Comentário didático sobre o passo: quando a expressão aparece em termos de s+a, a propriedade de deslocamento diz que se H(u) for uma função com variável u, então \mathcal{L}^{-1}\{H(s+a)\}=e^{-a t}\,\mathcal{L}^{-1}\{H(u)\}. Aqui a=\tfrac{1}{2}. Logo, se eu conseguir achar h(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{u-\tfrac{5}{2}}{2 u^{2}+3}\right\} com variável u, então
f(t)=e^{-\tfrac{1}{2}t}\,h(t).

Passo 4

Divido a fração em duas parcelas para reconhecer formas padrão:
\frac{u-\tfrac{5}{2}}{2 u^{2}+3}=\frac{u}{2 u^{2}+3}-\frac{\tfrac{5}{2}}{2 u^{2}+3}.
Agora fatoro constantes para comparar com as transformadas usuais:
\frac{u}{2 u^{2}+3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{u}{u^{2}+\tfrac{3}{2}}, \qquad \frac{\tfrac{5}{2}}{2 u^{2}+3}=\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{u^{2}+\tfrac{3}{2}}.
Identifico \displaystyle a^{2}=\tfrac{3}{2}, então
a=\sqrt{\tfrac{3}{2}}=\tfrac{\sqrt{6}}{2}.

Passo 5

Relembre as transformadas inversas padrão (variável u):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{u}{u^{2}+a^{2}}\right\}=\cos(a t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{a}{u^{2}+a^{2}}\right\}=\sin(a t).
Daí
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{u^{2}+a^{2}}\right\}=\frac{1}{a}\sin(a t).

Passo 6

Aplico as inversas às parcelas encontradas. Com a=\tfrac{\sqrt{6}}{2}:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{u}{2 u^{2}+3}\right\}=\frac{1}{2}\cos\!\left(a t\right),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{u^{2}+\tfrac{3}{2}}\right\}=\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{a}\sin\!\left(a t\right).
Portanto
h(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{u-\tfrac{5}{2}}{2 u^{2}+3}\right\}=\frac{1}{2}\cos\!\left(a t\right)-\frac{5}{4a}\sin\!\left(a t\right).
Substituindo a=\tfrac{\sqrt{6}}{2} e simplificando \dfrac{5}{4a}=\dfrac{5}{2\sqrt{6}}, obtenho
h(t)=\frac{1}{2}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{6}}{2}t\right)-\frac{5}{2\sqrt{6}}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{6}}{2}t\right).

Passo 7

Agora volto ao f(t) usando o fator de deslocamento (lembre: u=s+\tfrac{1}{2} corresponde a multiplicar por e^{-\tfrac{1}{2}t}):
f(t)=e^{-\tfrac{1}{2}t}\,h(t)=e^{-\tfrac{1}{2}t}\!\left(\frac{1}{2}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{6}}{2}t\right)-\frac{5}{2\sqrt{6}}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{6}}{2}t\right)\right).
Posso fatorar \tfrac{1}{2} para ficar mais compacto:
f(t)=\frac{1}{2}e^{-\tfrac{1}{2}t}\!\left(\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{6}}{2}t\right)-\frac{5}{\sqrt{6}}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{6}}{2}t\right)\right).

Resposta

f(t)=\frac{1}{2}e^{-\tfrac{1}{2}t}\!\left(\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{6}}{2}t\right)-\frac{5}{\sqrt{6}}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{6}}{2}t\right)\right)

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