Calcular
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
e pede para calcular
.
Informações relevantes:
- Temos o numerador
. - Temos o denominador
. - O objetivo é encontrar a função
cujo Laplace é .
Passo 2
Vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Faço fatoração por
:
Agora completo o quadrado dentro do parêntese:
Portanto
Passo 3
Faço a mudança de variável
(isso é só para enxergar o deslocamento). Então
e o numerador vira
Assim
onde
.
Comentário didático sobre o passo: quando a expressão aparece em termos de
, a propriedade de deslocamento diz que se
for uma função com variável
, então
. Aqui
. Logo, se eu conseguir achar
com variável
, então
Passo 4
Divido a fração em duas parcelas para reconhecer formas padrão:
Agora fatoro constantes para comparar com as transformadas usuais:
Identifico
, então
Passo 5
Relembre as transformadas inversas padrão (variável
):
Daí
Passo 6
Aplico as inversas às parcelas encontradas. Com
:
Portanto
Substituindo
e simplificando
, obtenho
Passo 7
Agora volto ao
usando o fator de deslocamento (lembre:
corresponde a multiplicar por
):
Posso fatorar
para ficar mais compacto: