Determine o volume da região limitada pelos cilindros
e planos
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o volume da região limitada pelas superfícies
,
e pelos planos
e
Informações dadas e observações importantes (lista das superfícies que aparecem):
- Superfície
: (paraboloide cilíndrico que depende só de ). - Superfície
: (paraboloide cilíndrico que depende só de ). - Plano inferior:
- Plano vertical:
Interseções úteis que vemos no enunciado (sem resolver ainda):
- As duas superfícies se igualam quando
, isto é, nas retas (nesses pontos ). - A interseção
com ocorre quando . - O plano
corta a superfície em .
O enunciado pede apenas o volume do sólido limitado por essas superfícies; a próxima etapa é escolher um modo conveniente de integrar para calcular esse volume.
Passo 2
Análise geométrica e escolha do método de integração (explicação didática e motivo da escolha).
Vamos imaginar fatias horizontais ou fatias com respeito a
. Para um valor fixo de
(uma “altura”), as desigualdades impostas por
e
transformam-se em restrições em
e
:
- Da equação
obtemos . Então, para pontos que satisfaçam temos . - Da equação
obtemos . A desigualdade equivale a .
Para formar um sólido fechado e finito usando o plano
, precisamos tomar a porção com
entre
e
(ou entre
e
para a parte negativa de
); como o plano dado é
(positivo) e não há plano que feche a parte negativa de
, a parte finita que o enunciado pretende é a porção com
. Assim, para cada
consideramos
variando de
até
, e
variando entre
e
. Finalmente,
vai de
(plano inferior) até o máximo permitido pela condição
combinada com
, isto é
.
Por isso a escolha natural de ordem de integração é primeiro em
, depois em
e por fim em
. Essa ordem torna os limites simples (raízes quadradas de
e constantes).
Passo 3
Montagem do integral triple para o volume (explicando cada limite).
Pelo raciocínio do passo anterior, o volume
pode ser escrito como
Explicação dos limites:
-
porque o plano inferior é e o máximo de ocorre quando em , isto é . - Para um
fixo, deve satisfazer e ; como tomamos a parte com , isso dá . - Para um
fixo, deve satisfazer , portanto .
Passo 4
Integrando em
(primeira integral interna) — passo a passo e explicação.
Calculemos a integral interna:
Interpretação: para cada
fixo, a largura em
é
.
Assim o integral reduz-se a
Passo 5
Integrando em
(segunda integral) — passo a passo.
A função
é constante em relação a
, então
Expandindo para facilitar a integração em
:
Portanto
Passo 6
Integrando em
(última integral) — antiderivadas e avaliação.
Calculemos as antiderivadas term a termo. Lembrando que
:
- Para
, uma primitiva é . - Para
, uma primitiva é .
Assim a primitiva do integrando é
. Avaliando de
a
:
Agora calculemos os termos em
:
-
. -
.
Substituindo:
Passando
para denominador comum
:
logo
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida.
O volume obtido é
. Dimensionalmente faz sentido (unidades de volume). Fizemos escolhas de limites justificadas geométrica e algebricamente; o cálculo foi feito passo a passo sem pular integrais básicas.