Determine o volume da região limitada pelos cilindros z=x^{2}, z=y^{2} e planos z=0 e y=4.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o volume da região limitada pelas superfícies \,z=x^{2}\,, \,z=y^{2}\, e pelos planos \,z=0\, e \,y=4\.
Informações dadas e observações importantes (lista das superfícies que aparecem):
  • Superfície 1: \,z=x^{2}\, (paraboloide cilíndrico que depende só de x).
  • Superfície 2: \,z=y^{2}\, (paraboloide cilíndrico que depende só de y).
  • Plano inferior: \,z=0\.
  • Plano vertical: \,y=4\.
Interseções úteis que vemos no enunciado (sem resolver ainda):
  • As duas superfícies se igualam quando \,x^{2}=y^{2}\,, isto é, nas retas x=\pm y (nesses pontos z=x^{2}=y^{2}).
  • A interseção \,z=0 com \,z=y^{2}\, ocorre quando \,y=0.
  • O plano \,y=4 corta a superfície \,z=y^{2}\, em z=16.
O enunciado pede apenas o volume do sólido limitado por essas superfícies; a próxima etapa é escolher um modo conveniente de integrar para calcular esse volume.

Passo 2

Análise geométrica e escolha do método de integração (explicação didática e motivo da escolha).
Vamos imaginar fatias horizontais ou fatias com respeito a z. Para um valor fixo de z (uma “altura”), as desigualdades impostas por \,z=x^{2}\, e \,z=y^{2}\, transformam-se em restrições em x e y:
  • Da equação \,z=x^{2}\, obtemos \,x=\pm\sqrt{z}\,. Então, para pontos que satisfaçam x^{2}\le z temos \,-\sqrt{z}\le x\le\sqrt{z}.
  • Da equação \,z=y^{2}\, obtemos \,y=\pm\sqrt{z}\,. A desigualdade z\le y^{2} equivale a |y|\ge\sqrt{z}.
Para formar um sólido fechado e finito usando o plano \,y=4, precisamos tomar a porção com y entre \sqrt{z} e 4 (ou entre -4 e -\sqrt{z} para a parte negativa de y); como o plano dado é y=4 (positivo) e não há plano que feche a parte negativa de y, a parte finita que o enunciado pretende é a porção com y\ge 0. Assim, para cada z consideramos y variando de \sqrt{z} até 4, e x variando entre -\sqrt{z} e \sqrt{z}. Finalmente, z vai de 0 (plano inferior) até o máximo permitido pela condição y\le 4 combinada com z=y^{2}, isto é \,z_{\max}=4^{2}=16.
Por isso a escolha natural de ordem de integração é primeiro em x, depois em y e por fim em z. Essa ordem torna os limites simples (raízes quadradas de z e constantes).

Passo 3

Montagem do integral triple para o volume (explicando cada limite).
Pelo raciocínio do passo anterior, o volume V pode ser escrito como
V=\int_{z=0}^{16}\;\int_{y=\sqrt{z}}^{4}\;\int_{x=-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} dx\;dy\;dz.
Explicação dos limites:
  • \,0\le z\le 16 porque o plano inferior é z=0 e o máximo de z ocorre quando y=4 em z=y^{2}, isto é z=16.
  • Para um z fixo, y deve satisfazer \,z\le y^{2} e y\le 4; como tomamos a parte com y\ge0, isso dá \,\sqrt{z}\le y\le 4.
  • Para um z fixo, x deve satisfazer x^{2}\le z, portanto -\sqrt{z}\le x\le \sqrt{z}.

Passo 4

Integrando em x (primeira integral interna) — passo a passo e explicação.
Calculemos a integral interna:
\int_{x=-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} dx = \bigl[ x \bigr]_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} = \sqrt{z}-(-\sqrt{z})=2\sqrt{z}.
Interpretação: para cada z fixo, a largura em x é 2\sqrt{z}.
Assim o integral reduz-se a
V=\int_{z=0}^{16}\;\int_{y=\sqrt{z}}^{4} 2\sqrt{z}\; dy\; dz.

Passo 5

Integrando em y (segunda integral) — passo a passo.
A função 2\sqrt{z} é constante em relação a y, então
\int_{y=\sqrt{z}}^{4} 2\sqrt{z}\; dy = 2\sqrt{z}\,\bigl[ y \bigr]_{y=\sqrt{z}}^{y=4} = 2\sqrt{z}\,(4-\sqrt{z}).
Expandindo para facilitar a integração em z:
2\sqrt{z}\,(4-\sqrt{z}) = 8\sqrt{z} - 2z.
Portanto
V=\int_{z=0}^{16} \bigl(8\sqrt{z} - 2z\bigr)\; dz.

Passo 6

Integrando em z (última integral) — antiderivadas e avaliação.
Calculemos as antiderivadas term a termo. Lembrando que \sqrt{z}=z^{1/2}:
  • Para \,8\sqrt{z}=8 z^{1/2}, uma primitiva é \,8\cdot \frac{2}{3} z^{3/2} = \frac{16}{3} z^{3/2}.
  • Para -2z, uma primitiva é -2\cdot \frac{1}{2} z^{2} = - z^{2}.
Assim a primitiva do integrando é \,\frac{16}{3} z^{3/2} - z^{2}. Avaliando de 0 a 16:
V=\left[\frac{16}{3} z^{3/2} - z^{2}\right]_{0}^{16}.
Agora calculemos os termos em z=16:
  • z^{3/2}=(16)^{3/2}=(\sqrt{16})^{3}=4^{3}=64.
  • z^{2}=16^{2}=256.
Substituindo:
V=\frac{16}{3}\cdot 64 - 256 - \bigl(0\bigr) = \frac{1024}{3} - 256.
Passando 256 para denominador comum 3:
256=\frac{768}{3},
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V=\frac{1024}{3}-\frac{768}{3}=\frac{256}{3}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida.
O volume obtido é \,\dfrac{256}{3}\,. Dimensionalmente faz sentido (unidades de volume). Fizemos escolhas de limites justificadas geométrica e algebricamente; o cálculo foi feito passo a passo sem pular integrais básicas.

Resposta

\dfrac{256}{3}

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