Calcular o fluxo associado ao campo de forças que atravessa o segundo octante superior da esfera de raio 1(pi2 <= phi <= pi e 0 <= theta <= pi2). ( 3,0 pt )
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo de forças
vec A = r^2,vec ar ;+; r,sintheta,vec atheta
através do pedaço da esfera de raio 1 no segundo octante superior, ou seja phiin[tfracpi2,pi] e thetain[0,tfracpi2].
Para resolver, vamos usar coordenadas esféricas e a definição de fluxo
Phi = integral duplaSvec Acdothat n,dS
Passo 2
Na superfície esférica r=1 o vetor normal unitário hat n coincide com vec ar.
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vec Acdothat n =l(r^2,vec ar+rsintheta,vec athetar)cdotvec ar =r^2
Passo 3
O elemento de área de uma esfera de raio r em coordenadas esféricas é
dS = r^2sintheta,dtheta,dphi
No nosso caso r=1, então dS=sintheta,dtheta,dphi.
Passo 4
Substituindo em Phi=integral duplaS(vec Acdothat n),dS, temos
Phi =integralphi=pi/2^piintegraltheta=0^pi/2 l(r^2r),l(r^2sinthetar),dtheta,dphi com r=1