Determine o valor médio da função f(x, y, z)=x+y+z sobre o tetraedro com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) e (0, 0, 1).
  1. 16
  2. 148
  3. 2315
  4. 163
  5. 1625
  6. 738710080
  7. 75
  8. 12(7-2 e)
  9. 528
  10. 3
  11. 112
  12. 8
  13. 4 pi
  14. 815
  15. 81 pi
  16. e^6(-3518-511338 cos 4-140169 sen 4)-7491521
  17. (a) integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 integral4 y^2+4 z^2^4(x^2+y^2+z^2) d x d z d y
    (b) (barx, bary, barz) onde
    barx=1m integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 integral4 y^2+4 z^2^4 x(x^2+y^2+z^2) d x d z d y
    bary=1m integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 integral4 y^2+4 z^2^4 y(x^2+y^2+z^2) d x d z d y
    barz=1m integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 integral4 y^2+4 z^2^4 z(x^2+y^2+z^2) d x d z d y
    (c) integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 integral4 y^2+4 z^2^4(x^2+y^2)(x^2+y^2+z^2) d x d z d y
  18. 34

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função
f(x,y,z)=x+y+z
sobre o tetraedro T cujos vértices são (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
O valor médio de f sobre T é dado por
bar f ;=;1Vol(T)integral triplaTf(x,y,z),dV
Precisamos, portanto, do volume de T e do integral de f sobre T.

Passo 2

Calcular o volume de T. Para o tetraedro definido pela origem e pelos três pontos (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) vale
Vol(T)=13!=16

Passo 3

Como f é linear, podemos usar a propriedade de que, num simplesxo, a média de cada coordenada é a coordenada do centróide. O centróide de T tem coordenadas
l(tfrac14,tfrac14,tfrac14r),
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integralTx,dV = 14,Vol(T) =14cdot16 =124

Passo 4

Por simetria integralTy,dV=integralTz,dV=tfrac124.
Então
integralTf(x,y,z),dV =integralT(x+y+z),dV =3cdot124 =18

Passo 5

Finalmente, o valor médio é
bar f =1Vol(T)integralTf,dV =116cdot18 =68 =34

Resposta

tfrac34

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