Determine o valor médio da função
sobre o tetraedro com vértices
e (0, 0, 1).
- 16
-
-
-
-
-
-
-
-
- 3
-
- 8
-
-
-
-
- (a)
(b)
onde
(c)
-
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede o valor médio da função
sobre o tetraedro cujos vértices são
,
,
e
.
O valor médio de sobre
é dado por
sobre o tetraedro
O valor médio de
Precisamos, portanto, do volume de
e do integral de
sobre
.
Passo 2
Calcular o volume de
. Para o tetraedro definido pela origem e pelos três pontos
,
,
vale
Passo 3
Como
é linear, podemos usar a propriedade de que, num simplesxo, a média de cada coordenada é a coordenada do centróide. O centróide de
tem coordenadas
logo
Passo 4
Por simetria
.
Então
Então
Passo 5
Finalmente, o valor médio é