Questão 1. (Lineares de primeira ordem) Resolva as EDOs ou PVIs abaixo:
y^prime+3 t^2 y & =e^-t^3+t y(0) & =2

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
y'(t) + 3,t^2,y(t) = e^-t^3+t, y(0)=2,
que é uma EDO linear de primeira ordem. Vamos resolvê-la usando a técnica do fator integrante.

Passo 2

Na forma padrão y'+p(t),y=g(t) temos p(t)=3t^2. O fator integrante é
mu(t) = exp!gl(integral p(t),dtgr) = exp!l(integral 3t^2,dtr) = exp!l(t^3r)

Passo 3

Multiplicando a EDO por mu(t)=e^t^3 obtemos
e^t^3,y' + 3t^2e^t^3,y = e^t^3,e^-t^3+t
O lado esquerdo é a derivada do produto e^t^3y, então
ddtl(e^t^3yr) = e^t

Passo 4

Integramos ambos os lados em t:
integral ddtl(e^t^3yr),dt = integral e^t,dt ;Longrightarrow; e^t^3y = e^t + C
Isolando y fica
y(t) = e^-t^3l(e^t + Cr)

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=2:
y(0) = e^0l(e^0 + Cr) = 1 + C = 2 ;Longrightarrow; C = 1
Por fim, a solução particular é
y(t) = e^-t^3l(e^t + 1r)

Resposta

y(t) = e^-t^3l(e^t + 1r)

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