Questão 1. (Lineares de primeira ordem) Resolva as EDOs ou PVIs abaixo:
y^prime+(1-2 t) y & =t e^-t y(0) & =2

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y' + (1 - 2t),y = t,e^-t, y(0)=2
Trata-se de uma EDO linear de 1ª ordem. Vamos usar fator integrante.

Passo 2

Calcular o fator integrante
mu(t)=e^integral(1-2t),dt =e^,t - t^2

Passo 3

Multiplicando a EDO por mu(t) obtemos
e^t - t^2,y' + (1-2t),e^t - t^2,y = t,e^-t,e^t - t^2,
e o lado esquerdo é
ddtl(e^t - t^2,yr),
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ddtl(e^t - t^2,yr) = t,e^-t^2

Passo 4

Integrar em t:
e^t - t^2,y = integral t,e^-t^2,dt + C = -tfrac12,e^-t^2 + C

Passo 5

Isolar y:
y = l(-tfrac12,e^-t^2+Cr),e^-(t - t^2) = -tfrac12,e^-t + C,e^-t + t^2

Passo 6

Aplicar y(0)=2. Em t=0:
2 = -tfrac12,e^0 + C,e^0 = -tfrac12 + C Rightarrow C = 2 + tfrac12 = tfrac52

Passo 7

Portanto a solução do PVI é
y(t) = -tfrac12,e^-t + tfrac52,e^-t + t^2

Resposta

y(t) = -tfrac12,e^-t + tfrac52,e^-t + t^2

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