Calcular o fluxo associado ao campo de forças A=rho^2 sen phi a rho+z cos phi a phi+rho z a z que atravessa o cilindro oco limitado em ( 1 <= rho <= 4 e 0 <= z <= 5 ). ( 3,0 pt )

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec A através da superfície fechada de um cilindro oco definido por
1 <= rho <= 4, 0<= z<=5, 0<=phi<=2pi
Como se trata de uma superfície fechada, vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss).

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que o fluxo de vec A pela superfície fechada S é igual ao integral triplo da divergência de vec A no volume V limitado por S:
Phi = integral duplaSvec Acdot dvec S ;=;integral triplaV(nabla!cdot!vec A),dV

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas a divergência vale
nabla!cdot!vec A = 1rhopartialpartial rhol(rho Arhor) + 1rhopartial Aphipartial phi + partial Azpartial z
Como Arho=rho^2sinphi, Aphi=zcosphi e Az=rho z, temos:
1rhopartialpartial rho(rhocdotrho^2sinphi) = 1rhopartialpartial rho(rho^3sinphi) = 1rho(3rho^2sinphi) =3rhosinphi,
1rhopartialpartial phi(zcosphi) =-zsinphirho, partialpartial z(rho z)=rho
Logo
nabla!cdot!vec A =3rhosinphi ;-;zsinphirho;+;rho

Passo 4

O fluxo fica
Phi =integralz=0^5!integralphi=0^2pi!integralrho=1^4 l(3rhosinphi -tfraczsinphirho +rhor),rho, drho,dphi,dz
Distribuindo o rho:
Phi =integral0^5!integral0^2pi!integral1^4 l(3rho^2sinphi - zsinphi + rho^2r) ,drho,dphi,dz
Os dois primeiros termos contêm sinphi e sua integral em phi de 0 a 2pi é zero, logo só sobra
Phi =integral0^5!integral0^2pi!integral1^4rho^2,drho,dphi,dz

Passo 5

Calcular o integral remanescente:
integral1^4rho^2,drho =l[rho^33r]1^4 =64-13 =633=21,
integral0^2pidphi=2pi, integral0^5dz=5
Logo
Phi = 21cdot2picdot5 =210pi

Resposta

210pi
fluxo total através da superfície do cilindro.

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