Calcule as integrais utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^7 x^-75 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^7 x^-75,dx
O conteúdo envolve o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a primitiva de x^-75 e depois tratar o ponto singular x=0 como limite.

Passo 2

Para pneq -1, uma primitiva de x^p é
x^p+1p+1
Aqui temos p=-tfrac75, logo p+1=-tfrac25. Assim
integral x^-tfrac75,dx = x^-tfrac25-tfrac25 + C = -52,x^-tfrac25 + C

Passo 3

Como a integral é imprópria em x=0, reescrevemos
integral0^7 x^-tfrac75,dx = limato0^+integrala^7 x^-tfrac75,dx
Usando a primitiva F(x) = -52x^-tfrac25, obtemos
integrala^7 x^-tfrac75,dx = [-52x^-tfrac25]x=a^x=7 = -52l(7^-tfrac25 - a^-tfrac25r)

Passo 4

Agora avaliamos o limite ato0^+. Note que
a^-tfrac25;longrightarrow;+infty,
então
-52l(7^-tfrac25 - a^-tfrac25r) = -52,7^-tfrac25 + 52,a^-tfrac25 ;longrightarrow;+infty
Logo a integral diverge.

Resposta

A integral é divergente (tende a +infty), logo não existe valor finito para
integral0^7 x^-75,dx.

Exercícios relacionados