Calcular o fluxo do campo vetorial
F(x, y, z)=\left(\frac{x^{2} y}{1+y^{2}}+6 y z^{2}, 2 x \operatorname{arctg} y, \frac{-2 x z(1+y)+1+y^{2}}{1+y^{2}}\right)
através da superfície S: z=1-x^{2}-y^{2} com z \geq 0 e normal exterior a S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de
F(x,y,z)=\Bigl(\frac{x^{2}y}{1+y^{2}}+6yz^{2},\,2x\arctan y,\,\frac{-2xz(1+y)+1+y^{2}}{1+y^{2}}\Bigr)
através da superfície S\colon z=1-x^{2}-y^{2} com z\ge0 e normal voltada para fora do sólido abaixo de S. Para facilitar, vamos fechar essa superfície juntando à base B (o disco z=0, x^2+y^2\le1) e aplicar o Teorema da Divergência, que relaciona fluxo pela superfície fechada ao volume interno.

Passo 2

Calculamos a divergência \nabla\cdot F. Chamando
F_1=\frac{x^{2}y}{1+y^{2}}+6yz^{2},\quad F_2=2x\arctan y,\quad F_3=\frac{-2xz(1+y)+1+y^{2}}{1+y^{2}},
temos
\frac{\partial F_1}{\partial x} =\frac{2xy}{1+y^{2}},\quad \frac{\partial F_2}{\partial y} =2x\cdot\frac{1}{1+y^{2}},\quad \frac{\partial F_3}{\partial z} =\frac{-2x(1+y)}{1+y^{2}}.
Somando,
\nabla\cdot F =\frac{2xy}{1+y^{2}}+\frac{2x}{1+y^{2}} -\frac{2x(1+y)}{1+y^{2}} =0.

Passo 3

Como \nabla\cdot F=0, o Teorema da Divergência diz que o fluxo pelo paraboloide S mais o fluxo pela base B vale zero:
\Phi_S + \Phi_B = \iiint_V (\nabla\cdot F)\,dV = 0.
Logo
\Phi_S = -\Phi_B.

Passo 4

Vamos calcular \Phi_B. Na base B temos z=0, x^2+y^2\le1. O vetor normal exterior ao sólido é -\mathbf{k}. Então
\Phi_B =\iint_B F\cdot(-\mathbf{k})\,dS =-\iint_B F_3(x,y,0)\,dA.
Em z=0,
F_3(x,y,0) =\frac{-2x\cdot0\,(1+y)+1+y^{2}}{1+y^{2}} =1.
Assim
\Phi_B =-\iint_{x^2+y^2\le1}1\,dA =-\pi.

Passo 5

Como \Phi_S=-\Phi_B, segue
\Phi_S = -(-\pi)=\pi.

Resposta

\pi

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