Use o Teorema de Gauss para calcular \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, onde \vec{F}(x, y, z)=\left(x z^{2}, \frac{y^{3}}{3}+\tan z, x^{2} z+y^{2}\right) e S a metade superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 com orientação normal exterior.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec F(x,y,z)=(x z^2,\;\tfrac{y^3}{3}+\tan z,\;x^2z+y^2) através da metade superior da esfera x^2+y^2+z^2=1, com normal exterior. Como essa superfície não é fechada, vamos fechá-la com o disco D no plano z=0. Seja S a hemisfera e D o disco, e V o volume abaixo de S. Pelo Teorema da Divergência de Gauss:
\iint_{S} \vec F\cdot\vec n\,dS \;+\;\iint_{D} \vec F\cdot\vec n\,dS \;=\;\iiint_{V}\nabla\cdot\vec F\,dV.

Passo 2

Calcular a divergência
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(x z^2) +\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\tfrac{y^3}{3}+\tan z\Bigr) +\frac{\partial}{\partial z}(x^2 z+y^2) =z^2 + y^2 + x^2 =x^2+y^2+z^2.

Passo 3

Avaliar o volume
\iiint_{V}(x^2+y^2+z^2)\,dV
no hemisfério r\le1, 0\le\varphi\le\pi/2, 0\le\theta\le2\pi. Em coordenadas esféricas
\iiint_{V}r^2\,(r^2\sin\varphi)\,dr\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{1}r^4dr\;\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi\;\int_{0}^{2\pi}d\theta =\frac{1}{5}\cdot1\cdot2\pi =\frac{2\pi}{5}.

Passo 4

Calcular o fluxo através do disco D\colon z=0, x^2+y^2\le1. A normal exterior ao volume aponta para baixo, \vec n=-\vec k. Então
\vec F\cdot\vec n =-(x^2\cdot0+y^2)=-y^2,
e
\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS =-\iint_{x^2+y^2\le1}y^2\,dA.
Por simetria \iint_{D}y^2\,dA=\tfrac{1}{2}\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA e
\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2\pi}r^2\,(r\,d\theta\,dr) =2\pi\int_{0}^{1}r^3dr=\frac{\pi}{2},
logo \iint_{D}y^2\,dA=\tfrac{\pi}{4} e
\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS=-\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Pelo Teorema de Gauss
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{V}\nabla\cdot\vec F\,dV -\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS =\frac{2\pi}{5}-\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\frac{2\pi}{5}+\frac{\pi}{4} =\frac{8\pi+5\pi}{20} =\frac{13\pi}{20}.

Resposta

\boxed{\frac{13\pi}{20}}.

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