Use o Teorema de Gauss para calcular
, onde
e
a metade superior da esfera
com orientação normal exterior.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da metade superior da esfera
, com normal exterior. Como essa superfície não é fechada, vamos fechá-la com o disco
no plano
. Seja
a hemisfera e
o disco, e
o volume abaixo de
. Pelo Teorema da Divergência de Gauss:
Passo 2
Calcular a divergência
Passo 3
Avaliar o volume
no hemisfério
,
,
. Em coordenadas esféricas
Passo 4
Calcular o fluxo através do disco
,
. A normal exterior ao volume aponta para baixo,
. Então
e
Por simetria
e
logo
e
Passo 5
Pelo Teorema de Gauss