Fechando de uma forma adequada as superfícies abertas dadas, usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vec{F} através de S, com vec{n} exterior a superfície.
vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}+y z, x z, z y\right) onde S: y=x^{2}+z^{2}, com 0 \leq y \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=(x^2+yz,\;xz,\;zy) através da superfície lateral S\colon y=x^2+z^2, 0\le y\le4, com \vec n apontando para fora. Vamos fechar essa superfície só com a “tampa” no plano y=4 para aplicar o Teorema da Divergência.

Passo 2

Calcular a divergência de \vec{F}:
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^2+yz) +\frac{\partial}{\partial y}(xz) +\frac{\partial}{\partial z}(zy) =2x+0+y =2x+y.

Passo 3

Definimos o volume V como
V=\{(x,y,z)\mid0\le y\le4,\;x^2+z^2\le y\}.
Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec n\,dS =\iiint_{V}(2x+y)\,dV.
Na integração, o termo 2x some por simetria (disco centrado em x=0), restando
\iiint_{V}y\,dV =\int_{y=0}^{4}\Bigl(y\cdot\text{área do disco de raio }\sqrt y\Bigr)dy =\int_{0}^{4}y\cdot(\pi y)\,dy =\pi\int_{0}^{4}y^2\,dy =\frac{64\pi}{3}.á

Passo 4

Calculamos o fluxo na tampa S_{\text{top}}\colon y=4, x^2+z^2\le4, com \vec n=(0,1,0) (para fora do volume):
\iint_{S_{\text{top}}}\vec{F}\cdot\vec n\,dS =\iint_{x^2+z^2\le4}x z\,dA =0
novamente por simetria (produto x z numa região simétrica).

Passo 5

Como \partial V=S\cup S_{\text{top}}, o Teorema da Divergência dá
\iint_{S}\vec F\!\cdot\!\vec n\,dS +\iint_{S_{\text{top}}}\vec F\!\cdot\!\vec n\,dS =\frac{64\pi}{3}.
Logo
\iint_{S}\vec F\!\cdot\!\vec n\,dS =\frac{64\pi}{3}-0 =\frac{64\pi}{3}.

Resposta

\frac{64\pi}{3}.

Exercícios relacionados