Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
f(x)=(4 x-x^2)^100

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a derivada da função $ f(x) = (4x - x2){100} $. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Diferencial, especialmente a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, aquelas dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte interna e a parte externa da nossa função. Aqui, a parte interna é $ u(x) = 4x - x^2 $ e a parte externa é $ v(u) = u^{100} $. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções desse tipo, onde uma função está dentro da outra.

Passo 3

Segundo a regra da cadeia, a derivada de uma função composta $ v(u(x)) $ é dada por:
v(u(x))
Ou seja, derivamos a parte externa em relação à parte interna e multiplicamos pela derivada da parte interna.

Passo 4

Vamos derivar a parte externa $ v(u) = u^{100} $. Usando a regra do poder, sabemos que:
v(u) = u^100
Então, $ v’(u) = 100 \cdot (4x - x2){99} $.

Passo 5

Agora, vamos derivar a parte interna $ u(x) = 4x - x^2 $. A derivada de $ 4x $ é 4 e a derivada de $ -x^2 $ é $ -2x $. Portanto:
u(x) = 4x - x^2

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos $ v’(u) $ por $ u’(x) $:
v'(u)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 100 cdot (4x - x^2)^99 cdot (4 - 2x)

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