Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
g(t)=e^t sen 2 t

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função g(t) = e^{t sin(2t)} e precisamos calcular a derivada dessa função, ou seja, encontrar g'(t), onde ela existir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte interna da função exponencial. Temos f(t) = t sin(2t). Para derivar g(t) = e^{f(t)}, precisamos usar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de e^{f(t)} é e^{f(t)} * f'(t).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de f(t) = t sin(2t). Aqui, temos um produto de duas funções: u(t) = t e v(t) = sin(2t). Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de u * v é u' * v + u * v'.

Passo 4

Calculando as derivadas individuais:
  • A derivada de u(t) = t é u'(t) = 1.
  • A derivada de v(t) = sin(2t) requer a regra da cadeia novamente. A derivada de sin(u) é cos(u) * u'. Então, v'(t) = cos(2t) * 2 = 2 cos(2t).

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
f'(t) = u'(t) * v(t) + u(t) * v'(t)
f'(t) = 1 * sin(2t) + t * 2 cos(2t)
f'(t) = sin(2t) + 2t cos(2t)

Passo 6

Agora que temos f'(t), podemos usar a regra da cadeia para encontrar g'(t):
g'(t) = e^{f(t)} * f'(t)
g'(t) = e^{t sin(2t)} * (sin(2t) + 2t cos(2t))

Resposta

A função derivada é:
g'(t) = e^t sin(2t) ( sin(2t) + 2t cos(2t) )

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