Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função
g(t) = e^{t sin(2t)} e precisamos calcular a derivada dessa função, ou seja, encontrar g'(t), onde ela existir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a regra do produto.Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte interna da função exponencial. Temos
f(t) = t sin(2t). Para derivar g(t) = e^{f(t)}, precisamos usar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de e^{f(t)} é e^{f(t)} * f'(t).Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
f(t) = t sin(2t). Aqui, temos um produto de duas funções: u(t) = t e v(t) = sin(2t). Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de u * v é u' * v + u * v'.Passo 4
Calculando as derivadas individuais:
- A derivada de
u(t) = téu'(t) = 1. - A derivada de
v(t) = sin(2t)requer a regra da cadeia novamente. A derivada desin(u)écos(u) * u'. Então,v'(t) = cos(2t) * 2 = 2 cos(2t).
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
f'(t) = u'(t) * v(t) + u(t) * v'(t)
f'(t) = 1 * sin(2t) + t * 2 cos(2t)
f'(t) = sin(2t) + 2t cos(2t)
Passo 6
Agora que temos
f'(t), podemos usar a regra da cadeia para encontrar g'(t):g'(t) = e^{f(t)} * f'(t)
g'(t) = e^{t sin(2t)} * (sin(2t) + 2t cos(2t))
Resposta
A função derivada é: