Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função
g(t) = e^{t sin(2t)}
e precisamos calcular a derivada dessa função, ou seja, encontrar g'(t)
, onde ela existir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a regra do produto.Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte interna da função exponencial. Temos
f(t) = t sin(2t)
. Para derivar g(t) = e^{f(t)}
, precisamos usar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de e^{f(t)}
é e^{f(t)} * f'(t)
.Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
f(t) = t sin(2t)
. Aqui, temos um produto de duas funções: u(t) = t
e v(t) = sin(2t)
. Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de u * v
é u' * v + u * v'
.Passo 4
Calculando as derivadas individuais:
- A derivada de
u(t) = t
éu'(t) = 1
. - A derivada de
v(t) = sin(2t)
requer a regra da cadeia novamente. A derivada desin(u)
écos(u) * u'
. Então,v'(t) = cos(2t) * 2 = 2 cos(2t)
.
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
f'(t) = u'(t) * v(t) + u(t) * v'(t)
f'(t) = 1 * sin(2t) + t * 2 cos(2t)
f'(t) = sin(2t) + 2t cos(2t)
Passo 6
Agora que temos
f'(t)
, podemos usar a regra da cadeia para encontrar g'(t)
:g'(t) = e^{f(t)} * f'(t)
g'(t) = e^{t sin(2t)} * (sin(2t) + 2t cos(2t))
Resposta
A função derivada é: