Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
h(t)=cos t1-sen t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função $ h(t) = \frac{\cos t}{1 - \sin t} $. Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é uma técnica da derivação que nos ajuda quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são funções diferenciáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável. No nosso caso, queremos saber como $ h(t) $ muda quando $ t $ varia.

Passo 3

A regra do quociente diz que se temos uma função que é uma divisão de duas funções, ou seja, $ h(t) = \frac{u(t)}{v(t)} $, a derivada de $ h(t) $ é dada por:
h(t) = u(t)v(t)
Aqui, $ u(t) $ é o numerador e $ v(t) $ é o denominador da nossa função.

Passo 4

Vamos identificar $ u(t) $ e $ v(t) $ na nossa função:
u(t)
Agora, precisamos das derivadas dessas funções:
v(t)
Isso porque a derivada de $ \cos t $ é $ -\sin t $ e a derivada de $ \sin t $ é $ \cos t $.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente com os valores que encontramos:
h'(t) = (-sin t)(1 - sin t) - (cos t)(-cos t)(1 - sin t)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
-sin t (1 - sin t) + cos^2 t = -sin t + sin^2 t + cos^2 t

Passo 7

Sabendo que $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, podemos substituir:
sin^2 t + cos^2 t = 1
Então, o numerador simplifica para $ 1 - \sin t $.

Passo 8

Agora, substituindo de volta na expressão da derivada:
h'(t) = 1 - sin t(1 - sin t)^2 = 11 - sin t

Resposta

A derivada de $ h(t) $ é:
h(t)

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