Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função $ h(t) = \frac{\cos t}{1 - \sin t} $. Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é uma técnica da derivação que nos ajuda quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são funções diferenciáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável. No nosso caso, queremos saber como $ h(t) $ muda quando $ t $ varia.
Passo 3
A regra do quociente diz que se temos uma função que é uma divisão de duas funções, ou seja, $ h(t) = \frac{u(t)}{v(t)} $, a derivada de $ h(t) $ é dada por:
Aqui, $ u(t) $ é o numerador e $ v(t) $ é o denominador da nossa função.
Passo 4
Vamos identificar $ u(t) $ e $ v(t) $ na nossa função:
Agora, precisamos das derivadas dessas funções:
Isso porque a derivada de $ \cos t $ é $ -\sin t $ e a derivada de $ \sin t $ é $ \cos t $.
Passo 5
Aplicando a regra do quociente com os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Passo 7
Sabendo que $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, podemos substituir:
Então, o numerador simplifica para $ 1 - \sin t $.
Passo 8
Agora, substituindo de volta na expressão da derivada:
Resposta
A derivada de $ h(t) $ é: