Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(t) = \frac{t \cdot \sin t}{1 + t} $ e precisamos encontrar a sua derivada, ou seja, $ f’(t) $. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação de funções que envolvem produtos e quocientes.
Passo 2
Como nossa função é um quociente (uma fração), vamos aplicar a Regra do Quociente. Essa regra diz que, se tivermos uma função da forma $ \frac{u(t)}{v(t)} $, a derivada dela será:
Então, precisamos identificar $ u(t) $ e $ v(t) $ na nossa função.
Passo 3
Vamos separar a função:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ u(t) $ e $ v(t) $, ou seja, $ u’(t) $ e $ v’(t) $.
Passo 4
Primeiro, vamos derivar $ u(t) = t \cdot \sin t
t $ e $ \sin t $), usamos a Regra do Produto, que diz:
Sabemos que $ (t)’ = 1 $ e $ (\sin t)’ = \cos t $. Então:
Agora, vamos derivar $ v(t) = 1 + t $:
Passo 5
Com $ u’(t) $ e $ v’(t) $ encontrados, vamos substituir na Regra do Quociente:
Agora, vamos simplificar o numerador:
Subtraindo $ t \sin t $:
Então, a derivada fica:
Resposta
A derivada da função é: