Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
f(t)=t sen t1+t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(t) = \frac{t \cdot \sin t}{1 + t} $ e precisamos encontrar a sua derivada, ou seja, $ f’(t) $. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação de funções que envolvem produtos e quocientes.

Passo 2

Como nossa função é um quociente (uma fração), vamos aplicar a Regra do Quociente. Essa regra diz que, se tivermos uma função da forma $ \frac{u(t)}{v(t)} $, a derivada dela será:
u(t)v(t)
Então, precisamos identificar $ u(t) $ e $ v(t) $ na nossa função.

Passo 3

Vamos separar a função:
u(t) = t cdot sin t v(t) = 1 + t
Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ u(t) $ e $ v(t) $, ou seja, $ u’(t) $ e $ v’(t) $.

Passo 4

Primeiro, vamos derivar $ u(t) = t \cdot \sin t u(t) = t cdot sin t éçõ t $ e $ \sin t $), usamos a Regra do Produto, que diz:
t
Sabemos que $ (t)’ = 1 $ e $ (\sin t)’ = \cos t $. Então:
sin t
Agora, vamos derivar $ v(t) = 1 + t $:
u'(t) = (t)' cdot sin t + t cdot (sin t)'

Passo 5

Com $ u’(t) $ e $ v’(t) $ encontrados, vamos substituir na Regra do Quociente:
u'(t)
Agora, vamos simplificar o numerador:
v'(t)
Subtraindo $ t \sin t $:
f'(t) = u'(t) cdot v(t) - u(t) cdot v'(t)[v(t)]^2 = (sin t + t cos t)(1 + t) - t cdot sin t cdot 1(1 + t)^2
Então, a derivada fica:
(sin t + t cos t)(1 + t) = sin t cdot 1 + sin t cdot t + t cos t cdot 1 + t cos t cdot t = sin t + t sin t + t cos t + t^2 cos t

Resposta

A derivada da função é:
f'(t) = sin t + t cos t + t^2 cos t(1 + t)^2

Exercícios relacionados