Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
f(x)=(x^3+2 x) e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função que precisa da sua derivada, ou seja, queremos saber a taxa de variação dessa função em relação a x. A função que estamos olhando é $ f(x) = (x^{3} + 2x) \cdot e^{x} $. Para resolver isso, vamos usar a regra do produto, que é útil quando você tem uma função que é o produto de duas outras funções. Vamos precisar entender como derivar funções polinomiais e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas partes da função que estão sendo multiplicadas. No nosso caso, temos:
  • $ u(x) = x^{3} + 2x $ (a parte polinomial)
  • $ v(x) = e^{x} $ (a parte exponencial)
A regra do produto diz que a derivada de $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $ é:
u(x) = x^3 + 2x

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de $ u(x) = x^{3} + 2x $. Para isso, derivamos cada termo separadamente:
u(x) = x^3 + 2x

Passo 4

Agora, derivamos $ v(x) = e^{x} $. A derivada de $ e^{x} $ é, na verdade, a própria função:
v(x) = e^x

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto substituindo as derivadas encontradas:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) = (3x^2 + 2) cdot e^x + (x^3 + 2x) cdot e^x

Passo 6

Podemos fatorar $ e^{x} $ para simplificar a expressão:
e^x
Agora, vamos organizar os termos:
f'(x) = e^x cdot (3x^2 + 2 + x^3 + 2x)

Resposta

A derivada da função $ f(x) = (x^{3} + 2x) \cdot e^{x} $ é:
f(x) = (x^3 + 2x) cdot e^x

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