Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função que precisa da sua derivada, ou seja, queremos saber a taxa de variação dessa função em relação a
. A função que estamos olhando é $ f(x) = (x^{3} + 2x) \cdot e^{x} $. Para resolver isso, vamos usar a regra do produto, que é útil quando você tem uma função que é o produto de duas outras funções. Vamos precisar entender como derivar funções polinomiais e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, identifique as duas partes da função que estão sendo multiplicadas. No nosso caso, temos:
- $ u(x) = x^{3} + 2x $ (a parte polinomial)
- $ v(x) = e^{x} $ (a parte exponencial)
A regra do produto diz que a derivada de $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $ é:
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de $ u(x) = x^{3} + 2x $. Para isso, derivamos cada termo separadamente:
Passo 4
Agora, derivamos $ v(x) = e^{x} $. A derivada de $ e^{x} $ é, na verdade, a própria função:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do produto substituindo as derivadas encontradas:
Passo 6
Podemos fatorar $ e^{x} $ para simplificar a expressão:
Agora, vamos organizar os termos:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = (x^{3} + 2x) \cdot e^{x} $ é: