Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
Passo 1
Neste exercício, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \sqrt{x} \sin x $, onde ela existir. O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas, utilizando a regra do produto e conhecendo as derivadas das funções radiciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a função $ f(x) $ é o produto de duas funções:
- $ u(x) = \sqrt{x} $
- $ v(x) = \sin x $
Para derivar $ f(x) $, vamos usar a regra do produto, que afirma que se $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, então:
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ u(x) = \sqrt{x} $. Sabemos que:
A derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $. Portanto:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada de $ v(x) = \sin x $. A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $, ou seja:
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = \sqrt{x} \sin x $ é: