Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
f(x)=raizx sen x

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \sqrt{x} \sin x $, onde ela existir. O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas, utilizando a regra do produto e conhecendo as derivadas das funções radiciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função $ f(x) $ é o produto de duas funções:
  • $ u(x) = \sqrt{x} $
  • $ v(x) = \sin x $
Para derivar $ f(x) $, vamos usar a regra do produto, que afirma que se $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, então:
f(x)

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ u(x) = \sqrt{x} $. Sabemos que:
u(x) = raizx
A derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $. Portanto:
raizx = x^1/2

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de $ v(x) = \sin x $. A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $, ou seja:
v(x) = sin x

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo os valores encontrados:
f'(x) = ( 12raizx ) cdot sin x + raizx cdot cos x

Resposta

A derivada da função $ f(x) = \sqrt{x} \sin x $ é:
f(x) = raizx sin x

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