Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x) = \frac{\sqrt{x} + x}{x^{2}} $ e precisamos encontrar a derivada dessa função, ou seja, $ f’(x) $, onde ela existir. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente da parte de derivadas de funções racionais. Para resolver isso, vamos usar a regra do quociente e algumas propriedades de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar duas partes principais na nossa função: o numerador e o denominador. No nosso caso, o numerador é $ \sqrt{x} + x $ e o denominador é $ x^{2} $. A regra do quociente nos diz que se temos uma função $ \frac{u(x)}{v(x)} $, a derivada dela é:
Então, precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) = \sqrt{x} + x $ e $ v(x) = x^{2} $.
Passo 3
Vamos derivar $ u(x) = \sqrt{x} + x $. Sabemos que:
- A derivada de $ \sqrt{x} $ é $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $, pois $ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $ e usando a regra da potência $ \frac{d}{dx}x^{n} = nx^{n-1} $.
- A derivada de $ x $ é 1.
Então,
Passo 4
Agora, vamos derivar $ v(x) = x^{2} $. Usando a regra da potência:
Passo 5
Com $ u’(x) $ e $ v’(x) $ encontrados, vamos aplicar a regra do quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, expandindo $ \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1 \right) \cdot x^{2} $:
E $ 1 \cdot x^{2} = x^{2} $. Então, o primeiro termo fica:
Agora, expandindo $ (\sqrt{x} + x) \cdot 2x $:
Assim, o segundo termo fica:
Passo 7
Substituindo de volta no numerador:
Vamos simplificar:
Passo 8
O denominador é $ (x{2}){2} = x^{4} $. Portanto, a derivada fica:
Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador por $ x^{4} $:
Resposta
A derivada da função é:
Ou, de forma alternativa: