Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
f(x)=raizx+xx^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x) = \frac{\sqrt{x} + x}{x^{2}} $ e precisamos encontrar a derivada dessa função, ou seja, $ f’(x) $, onde ela existir. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente da parte de derivadas de funções racionais. Para resolver isso, vamos usar a regra do quociente e algumas propriedades de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar duas partes principais na nossa função: o numerador e o denominador. No nosso caso, o numerador é $ \sqrt{x} + x $ e o denominador é $ x^{2} $. A regra do quociente nos diz que se temos uma função $ \frac{u(x)}{v(x)} $, a derivada dela é:
raizx + x
Então, precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) = \sqrt{x} + x $ e $ v(x) = x^{2} $.

Passo 3

Vamos derivar $ u(x) = \sqrt{x} + x $. Sabemos que:
  • A derivada de $ \sqrt{x} $ é $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $, pois $ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $ e usando a regra da potência $ \frac{d}{dx}x^{n} = nx^{n-1} $.
  • A derivada de $ x $ é 1.
Então,
u(x) = raizx + x

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v(x) = x^{2} $. Usando a regra da potência:
v(x) = x^2

Passo 5

Com $ u’(x) $ e $ v’(x) $ encontrados, vamos aplicar a regra do quociente:
u'(x)

Passo 6

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, expandindo $ \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1 \right) \cdot x^{2} $:
( 12raizx + 1 ) cdot x^2
E $ 1 \cdot x^{2} = x^{2} $. Então, o primeiro termo fica:
12raizx cdot x^2 = x^22raizx = x^22x^12 = x^322
Agora, expandindo $ (\sqrt{x} + x) \cdot 2x $:
1 cdot x^2 = x^2
x^322 + x^2
Assim, o segundo termo fica:
(raizx + x) cdot 2x

Passo 7

Substituindo de volta no numerador:
( x^322 + x^2 ) - ( 2x^32 + 2x^2 ) = x^322 + x^2 - 2x^32 - 2x^2
Vamos simplificar:
( x^322 - 2x^32 ) + ( x^2 - 2x^2 ) = -3x^322 - x^2

Passo 8

O denominador é $ (x{2}){2} = x^{4} $. Portanto, a derivada fica:
(x^2)^2 = x^4
Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador por $ x^{4} $:
f'(x) = -3x^322 - x^2 x^4

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -32x^-52 - x^-2
Ou, de forma alternativa:
f'(x) = -32x^52 - 1x^2

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