Derive cada função dos exercícios 8 a 16 .
Passo 1
Beleza, a questão pede a derivada da função definida por partes
f(x)= .
Isso envolve dois casos: x≠0 e x=0.
f(x)=
Isso envolve dois casos: x≠0 e x=0.
Passo 2
Para x≠0, escrevemos f(x)=x^3\sin(1/x) e aplicamos a regra do produto. Seja u(x)=x^3 e v(x)=\sin(1/x). Então u’(x)=3x^2 e
v’(x)=\cos(1/x)\cdot\bigl(-1/x^2\bigr). Logo:
v’(x)=\cos(1/x)\cdot\bigl(-1/x^2\bigr). Logo:
Passo 3
Para x=0 usamos a definição de derivada:
Como |\sin(1/h)|≤1, esse limite vale 0.
Passo 4
Juntando tudo, a derivada fica definida por partes conforme as expressões obtidas para x≠0 e x=0.
Resposta
\displaystyle f’(x)=