Derive cada função dos exercícios 8 a 16 .
f(x)=lx^3 sen(1x), x neq 0 0, x=0

Passo 1

Beleza, a questão pede a derivada da função definida por partes
f(x)= x^3sinl(tfrac1xr),&xneq00,&x=0.
Isso envolve dois casos: x≠0 e x=0.

Passo 2

Para x≠0, escrevemos f(x)=x^3\sin(1/x) e aplicamos a regra do produto. Seja u(x)=x^3 e v(x)=\sin(1/x). Então u’(x)=3x^2 e
v’(x)=\cos(1/x)\cdot\bigl(-1/x^2\bigr). Logo:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=3x^2sinl(tfrac1xr)-xcosl(tfrac1xr)

Passo 3

Para x=0 usamos a definição de derivada:
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h=limhto0h^3sin(1/h)h=limhto0h^2sinl(tfrac1hr)
Como |\sin(1/h)|≤1, esse limite vale 0.

Passo 4

Juntando tudo, a derivada fica definida por partes conforme as expressões obtidas para x≠0 e x=0.

Resposta

\displaystyle f’(x)= 3x^2sinl(tfrac1xr)-xcosl(tfrac1xr),&xneq00,&x=0

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