Determine a seguinte integral indefinida, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
O enunciado pede primeiro a integral indefinida de em e depois, usando essa primitiva, calcular a integral imprópria de 1 a 3. O conteúdo principal é integração de funções com raiz quadrada de polinômio quadrático no numerador e função linear no denominador, e vamos precisar: (1) completar o quadrado em ; (2) fazer a mudança de variável ; (3) aplicar o resultado padrão .
Passo 2
Começamos completando o quadrado dentro da raiz. Note que
Para ajustar o denominador t-1/2 em vez de t, fazemos uma pequena correção algébrica (ou simplesmente reaplicamos o mesmo tipo de fórmula trocando tto t-tfrac12 e a^2to a^2-tfrac14); o resultado final para a primitiva é