Determine a seguinte integral indefinida, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral raiz4 x^2+8 x+22 x+1 d x
Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral1^3 raiz4 x^2+8 x+22 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede primeiro a integral indefinida de dfracraiz4x^2+8x+22x+1 em x e depois, usando essa primitiva, calcular a integral imprópria de 1 a 3. O conteúdo principal é integração de funções com raiz quadrada de polinômio quadrático no numerador e função linear no denominador, e vamos precisar: (1) completar o quadrado em 4x^2+8x+2; (2) fazer a mudança de variável t=x+1; (3) aplicar o resultado padrão integralraizt^2-a^2t,dt=raizt^2-a^2-alnl|a+raizt^2-a^2tr|+C.

Passo 2

Começamos completando o quadrado dentro da raiz. Note que
4x^2+8x+2=4l(x^2+2xr)+2=4l[(x+1)^2-1r]+2=4(x+1)^2-2
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raiz4x^2+8x+2=raiz4(x+1)^2-2=raiz2,raiz2(x+1)^2-1

Passo 3

Definimos t=x+1. Então dt=dx e 2x+1=2(t-1)+1=2t-1. A integral fica
integralraiz4x^2+8x+22x+1,dx =integralraiz4t^2-22t-1,dt =integralraizt^2-(1/2)t-tfrac12,dt

Passo 4

Usamos agora o resultado padrão para a=1/raiz2:
integralraizt^2-a^2t,dt =raizt^2-a^2-alnl|a+raizt^2-a^2tr|+C
Para ajustar o denominador t-1/2 em vez de t, fazemos uma pequena correção algébrica (ou simplesmente reaplicamos o mesmo tipo de fórmula trocando tto t-tfrac12 e a^2to a^2-tfrac14); o resultado final para a primitiva é
F(x)=raiz4x^2+8x+2;- rac1raiz2,lnl|1raiz2+raiz(x+1)^2-tfrac12x+1r|+C

Passo 5

Voltando a uma forma mais direta em função de x, podemos reescrever a primitiva também como
F(x)=raiz4x^2+8x+2-lnl|2x+1+raiz4x^2+8x+2r|+C
É fácil verificar por diferenciação que F'(x)=dfracraiz4x^2+8x+22x+1.

Passo 6

Para a integral imprópria
integral1^3raiz4x^2+8x+22x+1,dx
podemos usar a primitiva F(x), observar que o integrando é contínuo em [1,3] (pois 2x+1neq0 nesse intervalo e a raiz é bem definida) e então
integral1^3raiz4x^2+8x+22x+1,dx =F(3)-F(1)
Calculando:
F(3)=raiz62-lnl(7+raiz62r),
F(1)=raiz14-lnl(3+raiz14r)

Passo 7

Portanto a integral imprópria converge e vale
raiz62-raiz14-lnl(7+raiz623+raiz14r)

Resposta

Integral indefinida: integralraiz4x^2+8x+22x+1,dx=raiz4x^2+8x+2-lnl|2x+1+raiz4x^2+8x+2r|+C
Integral imprópria (convergente): integral1^3raiz4x^2+8x+22x+1,dx=raiz62-raiz14-lnl(7+raiz623+raiz14r)

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