Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \tan\left(e^{x}\right) + e^{\tan x} $. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente a regra da cadeia. A gente vai precisar saber derivar funções trigonométricas como a tangente e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a parte $ \tan\left(e^{x}\right) $.
A derivada da tangente é:
Aqui, nosso $ u $ é $ e^{x} $. Então:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos derivar a parte $ e^{\tan x} $.
A derivada da função exponencial é:
Aqui, nosso $ v $ é $ \tan x $. Então:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, juntamos as duas partes que derivamos:
Resposta
A derivada da função é: