Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
f(x)=tg(e^x)+e^tg x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \tan\left(e^{x}\right) + e^{\tan x} $. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente a regra da cadeia. A gente vai precisar saber derivar funções trigonométricas como a tangente e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a parte $ \tan\left(e^{x}\right) $.
A derivada da tangente é:
tan(e^x)
Aqui, nosso $ u $ é $ e^{x} $. Então:
ddx tan(u) = sec^2(u) cdot dudx
Aplicando a regra da cadeia:
u

Passo 3

Agora, vamos derivar a parte $ e^{\tan x} $.
A derivada da função exponencial é:
e^tan x
Aqui, nosso $ v $ é $ \tan x $. Então:
ddx e^v = e^v cdot dvdx
Aplicando a regra da cadeia:
v

Passo 4

Agora, juntamos as duas partes que derivamos:
f'(x) = ddx tan(e^x) + ddx e^tan x = sec^2(e^x) cdot e^x + e^tan x cdot sec^2(x)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = sec^2(e^x) cdot e^x + e^tan x cdot sec^2(x)

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