Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
f(x)=x ln x-x

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = x \ln x - x $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, incluindo a regra do produto e a derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função está dividida em duas partes:
f(x) = x ln x e -x

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira parte, $ x \ln x $. Para isso, usamos a Regra do Produto, que nos diz que a derivada de duas funções multiplicadas é:
x ln x
Onde $ u = x $ e $ v = \ln x $.

Passo 4

Derivando cada função:
u = x Rightarrow u' = 1
v = ln x Rightarrow v' = 1x
Aplicando a Regra do Produto:
ddx(x ln x) = u'v + uv' = 1 cdot ln x + x cdot 1x = ln x + 1

Passo 5

Agora, vamos derivar a segunda parte da função, que é $ -x $. A derivada de $ -x $ é simplesmente:
-x

Passo 6

Finalmente, somamos as derivadas das duas partes para obter a derivada total da função $ f(x) $:
f(x)

Resposta

A derivada da função $ f(x) = x \ln x - x $ é:
f(x) = x ln x - x

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