Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = x \ln x - x $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, incluindo a regra do produto e a derivada do logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função está dividida em duas partes:
Passo 3
Vamos começar derivando a primeira parte, $ x \ln x $. Para isso, usamos a Regra do Produto, que nos diz que a derivada de duas funções multiplicadas é:
Onde $ u = x $ e $ v = \ln x $.
Passo 4
Derivando cada função:
Aplicando a Regra do Produto:
Passo 5
Agora, vamos derivar a segunda parte da função, que é $ -x $. A derivada de $ -x $ é simplesmente:
Passo 6
Finalmente, somamos as derivadas das duas partes para obter a derivada total da função $ f(x) $:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = x \ln x - x $ é: