Exercício 1. Esboce as regiões de integração e determine o valor de cada uma das integrais iteradas abaixo. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar a região onde vamos integrar e calcular o valor da integral iterada . Então, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que é um assunto de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a integração em duas etapas e como representar graficamente a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida com variando de 1 a 4 e variando de 1 a 2. Isso significa que no plano , estamos olhando para um retângulo onde:
vai de 1 a 4 no eixo horizontal.
vai de 1 a 2 no eixo vertical.
Então, nosso retângulo de integração tem os cantos em (1,1), (1,2), (4,1) e (4,2).
Passo 3
Agora que entendemos a região, vamos para a parte da integração. A integral é uma dupla integral, ou seja, vamos integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a . Isso significa que vamos fazer duas integrações sequenciais.
Passo 4
Vamos começar integrando a função em relação a , mantendo constante. Então, a primeira integral fica:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 5
Integrando em relação a :
Como estamos em , podemos simplificar para .
Integrando em relação a :
Passo 6
Agora, vamos somar os resultados das integrais e avaliar de a :
Sabemos que ln 1 = 0, então:
x ln 2 + 2x - 0 - 12x = x ln 2 + 2x - 12x = x ln 2 + 32x
Passo 7
Agora, temos que integrar essa expressão em relação a x de 1 a 4:
integral1^4 ( x ln 2 + 32x ) dx
Vamos integrar termo a termo novamente.
Passo 8
Integrando x ln 2 em relação a x:
ln 2 integral x dx = ln 2 cdot x^22 + C
Integrando 32x em relação a x:
32 integral 1x dx = 32 ln|x| + C
Passo 9
Somando as integrais e avaliando de x = 1 a x = 4: