Exercício 1. Esboce as regiões de integração e determine o valor de cada uma das integrais iteradas abaixo.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar a região onde vamos integrar e calcular o valor da integral iterada integral1^4 integral1^2(xy+yx) dy dx. Então, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que é um assunto de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a integração em duas etapas e como representar graficamente a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida com x variando de 1 a 4 e y variando de 1 a 2. Isso significa que no plano xy, estamos olhando para um retângulo onde:
  • x vai de 1 a 4 no eixo horizontal.
  • y vai de 1 a 2 no eixo vertical.
Então, nosso retângulo de integração tem os cantos em (1,1), (1,2), (4,1) e (4,2).

Passo 3

Agora que entendemos a região, vamos para a parte da integração. A integral é uma dupla integral, ou seja, vamos integrar a função xy + yx primeiro em relação a y e depois em relação a x. Isso significa que vamos fazer duas integrações sequenciais.

Passo 4

Vamos começar integrando a função xy + yx em relação a y, mantendo x constante. Então, a primeira integral fica:
integral1^2 (xy + yx) dy
Vamos integrar termo a termo.

Passo 5

Integrando xy em relação a y:
integral xy dy = x integral 1y dy = x ln|y| + C
Como estamos em y > 0, podemos simplificar para x ln y.
Integrando yx em relação a y:
integral yx dy = 1x integral y dy = 1x cdot y^22 + C = y^22x + C

Passo 6

Agora, vamos somar os resultados das integrais e avaliar de y = 1 a y = 2:
x ln y + y^22x |1^2 = (x ln 2 + 42x) - (x ln 1 + 12x)
Sabemos que ln 1 = 0, então:
x ln 2 + 2x - 0 - 12x = x ln 2 + 2x - 12x = x ln 2 + 32x

Passo 7

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a x de 1 a 4:
integral1^4 ( x ln 2 + 32x ) dx
Vamos integrar termo a termo novamente.

Passo 8

Integrando x ln 2 em relação a x:
ln 2 integral x dx = ln 2 cdot x^22 + C
Integrando 32x em relação a x:
32 integral 1x dx = 32 ln|x| + C

Passo 9

Somando as integrais e avaliando de x = 1 a x = 4:
( x^22 ln 2 + 32 ln x ) |1^4 = ( 162 ln 2 + 32 ln 4 ) - ( 12 ln 2 + 32 ln 1 )
Sabemos que ln 1 = 0, então:
8 ln 2 + 32 ln 4 - 12 ln 2

Passo 10

Simplificando os termos:
Sabemos que ln 4 = ln (2^2) = 2 ln 2, então:
8 ln 2 + 32 cdot 2 ln 2 - 12 ln 2 = 8 ln 2 + 3 ln 2 - 12 ln 2 = (8 + 3 - 0.5) ln 2 = 10.5 ln 2

Resposta

O valor da integral iterada é 10.5 ln 2.

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