Calcular fx, fy, fx x, fx y, fx y, fy x
f(x, y)=ln (x+2 y)

Passo 1

Resumo: temos f(x,y) = ln(x + 2y) e vamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. O material envolve regras de derivação de funções compostas e derivadas parciais.

Passo 2

Para obter as derivadas de primeira ordem aplicamos a regra da cadeia: como f(u) = ln(u), temos f'(u) = 1/u. Tomando u = x + 2y, calculamos
fx = partialpartial x ln(x+2y) = 1x+2y cdot 1 = 1x+2y,
fy = partialpartial y ln(x+2y) = 1x+2y cdot 2 = 2x+2y

Passo 3

Para as derivadas de segunda ordem, derivamos novamente as expressões de fx e fy, lembrando que ao derivar 1x+2y obtém-se -1/(x+2y)^2 multiplicado pela derivada interna.

Passo 4

Calculando explicitamente as derivadas de segunda ordem:
fxx = partialpartial x (1x+2y) = -1(x+2y)^2,
fxy = partialpartial y (1x+2y) = -2(x+2y)^2,
fyx = partialpartial x (2x+2y) = -2(x+2y)^2

Resposta

f_x = \frac{1}{x+2y},\quad f_y = \frac{2}{x+2y},\quad f_{xx} = -\frac{1}{(x+2y)^2},\quad f_{xy} = -\frac{2}{(x+2y)^2},\quad f_{yx} = -\frac{2}{(x+2y)^2}

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