Calcular
Passo 1
Resumo: temos
e vamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. O material envolve regras de derivação de funções compostas e derivadas parciais.
Passo 2
Para obter as derivadas de primeira ordem aplicamos a regra da cadeia: como
, temos
. Tomando
, calculamos
Passo 3
Para as derivadas de segunda ordem, derivamos novamente as expressões de
e
, lembrando que ao derivar
obtém-se
multiplicado pela derivada interna.
Passo 4
Calculando explicitamente as derivadas de segunda ordem:
Resposta
f_x = \frac{1}{x+2y},\quad f_y = \frac{2}{x+2y},\quad f_{xx} = -\frac{1}{(x+2y)^2},\quad f_{xy} = -\frac{2}{(x+2y)^2},\quad f_{yx} = -\frac{2}{(x+2y)^2}