calcular o gradiente do campo escalar dado.
f(x, y)=e^2 r^2+y.

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular o gradiente de f(x,y)=e^2r^2+y, onde usamos a definição r^2=x^2+y^2. O conteúdo aqui é cálculo de gradiente por derivadas parciais, aplicando a regra da cadeia.

Passo 2

Para achar partial fpartial x, reconhecemos que f(x,y)=e^g(x,y) com g(x,y)=2r^2+y. Pela regra da cadeia: partial fpartial x=e^g(x,y)cdotpartial gpartial x. Como r^2=x^2+y^2, temos partial gpartial x=2cdot2x=4x. Portanto, partial fpartial x=4x,e^2(x^2+y^2)+y.

Passo 3

Para achar partial fpartial y, seguimos o mesmo raciocínio: partial fpartial y=e^g(x,y)cdotpartial gpartial y. Aqui partial gpartial y=2cdot2y+1=4y+1. Logo, partial fpartial y=(4y+1)e^2(x^2+y^2)+y.

Resposta

[\nabla f(x,y) = (4x,e{2(x2+y2)+y},,(4y+1)e{2(x2+y2)+y})\n]

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