Questão 1- Encontre a solução geral das EDOs abaixo usando o método de fatores integrantes.
y^prime+1t y=cos t

Passo 1

Nesse exercício, temos a EDO de primeira ordem linear
y\u0027 + \frac{1}{t}y = \cos t. Vamos usar o método dos fatores integrantes para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação no formato padrão
y\u0027 + P(t)
y = Q(t). Aqui temos
P(t) = \frac{1}{t}
e
Q(t) = \cos t.

Passo 3

Em seguida, calculamos o fator integrante
mu(t) = e^integral P(t),dt = e^integral 1t,dt = e^ln t = t

Passo 4

Multiplicamos toda a EDO por mu(t)=t:

O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t,yu0027 + y = tcos t, pois

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
ddt(t,y) = tcos t implies t,y = integral tcos t,dt + C
Para calcular
integral tcos t,dt,
usamos integração por partes: seja u = t, dv = cos t,dt, então du = dt e v = sin t. Assim
integral tcos t,dt = tsin t - integral sin t,dt = tsin t + cos t
Logo,
t,y = tsin t + cos t + C

Passo 6

Por fim, isolamos y dividindo por t:
y(t) = sin t + cos tt + Ct,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(t)=sin t+cos tt+Ct

Exercícios relacionados