Questão 1- Encontre a solução geral das EDOs abaixo usando o método de fatores integrantes.
Passo 1
Nesse exercício, temos a EDO de primeira ordem linear
y\u0027 + \frac{1}{t}y = \cos t. Vamos usar o método dos fatores integrantes para encontrar a solução geral.
y\u0027 + \frac{1}{t}y = \cos t. Vamos usar o método dos fatores integrantes para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, colocamos a equação no formato padrão
y\u0027 + P(t)
y = Q(t). Aqui temos
P(t) = \frac{1}{t}
e
Q(t) = \cos t.
y\u0027 + P(t)
y = Q(t). Aqui temos
P(t) = \frac{1}{t}
e
Q(t) = \cos t.
Passo 3
Em seguida, calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos toda a EDO por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Para calcular
usamos integração por partes: seja
,
, então
e
. Assim
Logo,
Passo 6
Por fim, isolamos
dividindo por
:
onde