Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime=-(4 x+3 y) /(2 x+y)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial y' = -4x+3y2x+y. Isso é uma equação de primeira ordem homogênea, pois o numerador e o denominador são combinações lineares de x e y. Vamos usar a substituição y = vx e depois resolver a equação separável que surgir.

Passo 2

Fazendo y = vx, temos v = yx e então
y' = dydx = v + xdvdx

Passo 3

Substituindo na equação original:
v + xdvdx = -4x + 3(vx)2x + v x = -4 + 3v2 + v

Passo 4

Isolando dv/dx:
xdvdx = -4 + 3v2 + v - v = -(4 + 3v) + v(2 + v)2 + v = -v^2 + 5v + 4v + 2 = -(v+1)(v+4)v+2

Passo 5

Logo
dvdx = -(v+1)(v+4)(v+2)x

Passo 6

Agora separamos variáveis:
v+2(v+1)(v+4),dv = -1x,dx

Passo 7

Fazendo frações parciais em v+2(v+1)(v+4) = Av+1 + Bv+4 leva a A=tfrac13 e B=tfrac23. Integrando:
integrall(1/3v+1 + 2/3v+4r)dv = -integraldxx

Passo 8

Isso dá
13ln|v+1| + 23ln|v+4| = -ln|x| + C1

Passo 9

Multiplicando por 3 e reunindo logaritmos:
lnl(|v+1|(v+4)^2r) = lnl(Cx^-3r)Rightarrow |v+1|(v+4)^2 = Cx^-3

Passo 10

Substituindo v=y/x e multiplicando ambos os lados por x^3 obtém-se a solução implícita:
(y + x)(y + 4x)^2 = C

Resposta

(y + x)(y + 4x)^2 = C

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