Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime=(x^2+3 y^2) / 2 x y

Passo 1

Neste exercício, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem y' = x^2 + 3y^22xy. O conteúdo principal é reconhecer que podemos usar a substituição u = y^2 para obter uma equação linear em u(x). Precisaremos aplicar técnicas de equações lineares de primeira ordem e fator integrante.

Passo 2

Iniciamos multiplicando ambos os lados por 2y, o que nos dá
2ydydx = x^2 + 3y^2x
Observando que dudx = d(y^2)dx = 2ydydx, podemos reescrever em termos de u.

Passo 3

Substituindo u = y^2 na expressão anterior, obtemos
dudx = x + 3ux

Passo 4

Reorganizando, ficamos com a equação linear
dudx - 3x,u = x
O fator integrante associado é mu(x) = expl(integral -tfrac3xdxr) = x^-3

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por x^-3, a equação vira
ddxl(x^-3ur) = x^-2
Integrando em x, temos
x^-3u = integral x^-2dx = -1x + C

Passo 6

Voltando a u = y^2, obtemos
y^2 = -x^2 + Cx^3
ou, de forma equivalente,
y^2 + x^2 = Cx^3

Resposta

y^2 + x^2 = Cx^3

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