CAlcular I=\int S_{R} y \cdot \operatorname{sen}(x y) d x d y, ONDe R é o retângulo de vértices (0, \pi / 2),(1, \pi / 2),(1, \pi) e (0, \pi).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
I = \iint_{R} y \sin(xy)\,dx\,dy
sobre o retângulo R com vértices (0,\tfrac{\pi}{2}), (1,\tfrac{\pi}{2}), (1,\pi) e (0,\pi). O conteúdo é integração dupla, e vamos usar o Teorema de Fubini para escrever como integral iterada.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Fubini, temos
I = \int_{y=\frac{\pi}{2}}^{\pi}\!\biggl(\int_{x=0}^{1} y\sin(xy)\,dx\biggr)\,dy.

Passo 3

Na integral interna em x, tratamos y como constante. Sabendo que
\int \sin(xy)\,dx = -\frac{1}{y}\cos(xy),
multiplicamos por y e avaliamos de 0 a 1:
\int_{0}^{1} y\sin(xy)\,dx = y\left[-\tfrac{1}{y}\cos(xy)\right]_{0}^{1} = -\bigl(\cos(y)-\cos(0)\bigr) = 1-\cos(y).

Passo 4

Substituindo na integral externa, fica
I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\bigl(1-\cos(y)\bigr)\,dy = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}1\,dy \;-\;\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos(y)\,dy.
Como \int1\,dy=y e \int\cos(y)\,dy=\sin(y), concluímos:

Passo 5

I = \bigl[y-\sin(y)\bigr]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \bigl(\pi-0\bigr)-\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-1\Bigr) = \frac{\pi}{2}+1.

Resposta

I = \frac{\pi}{2} + 1.

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