Questão 3 (1,0 ponto). Compare a convergência/divergência das seguintes integrais \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x e \int_{x}^{\infty} \frac{1}{x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para comparar a convergência das integrais impróprias
\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx e \displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx.
O conteúdo é o estudo de integrais impróprias no infinito e, em particular, o teste-p, segundo o qual
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx
converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Analisando \displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx =\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}x^{-2}\,dx =\lim_{b\to\infty}\Bigl[-x^{-1}\Bigr]_{1}^{b} =\lim_{b\to\infty}\bigl(-b^{-1}+1\bigr) =1.
Como o limite existe e é finito, essa integral converge.

Passo 3

Analisando \displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx =\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}x^{-1}\,dx =\lim_{b\to\infty}\Bigl[\ln x\Bigr]_{1}^{b} =\lim_{b\to\infty}(\ln b - 0) =\infty.
O limite diverge, logo essa integral diverge.

Resposta

\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx converge e
\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx diverge.

Exercícios relacionados