Questão 1 ( 6.0 pontos). Calcule a integral ou mostre que ela é divergente:
(e) \int \frac{x-1}{(x-2)^{2}(x-3)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{x-1}{(x-2)^{2}(x-3)}\,dx.
Trata-se de uma função racional própria cujo denominador se fatora como (x-2)^{2}(x-3), então vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Assumimos que
\frac{x-1}{(x-2)^{2}(x-3)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{(x-2)^{2}}.
Multiplicando os dois lados por (x-2)^{2}(x-3) obtém-se
x - 1 = A\,(x-2)^{2} + B\,(x-2)(x-3) + C\,(x-3).

Passo 3

Expandindo o lado direito e igualando coeficientes a x-1 = 0\cdot x^{2} + 1\cdot x -1, vem
x-1 = (A+B)x^{2} + (-4A -5B + C)x + (4A+6B-3C).
Logo o sistema é
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ -4A -5B + C = 1,\\\\ 4A +6B -3C = -1. \end{cases}
Resolvendo encontra-se
A = 2,\quad B = -2,\quad C = -1.

Passo 4

Substituindo de volta,
\frac{x-1}{(x-2)^{2}(x-3)} = \frac{2}{x-3} \;-\;\frac{2}{x-2}\;-\;\frac{1}{(x-2)^{2}}.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{2}{x-3}\,dx = 2\ln|x-3|,\quad \int \frac{-2}{x-2}\,dx = -2\ln|x-2|,\quad \int \frac{-1}{(x-2)^{2}}\,dx = \frac{1}{x-2}.

Passo 5

Somando as três integrais e adicionando constante C, obtemos
2\ln|x-3| \;-\;2\ln|x-2|\;+\;\frac{1}{x-2} \;+\; C.

Resposta

\int \frac{x-1}{(x-2)^{2}(x-3)}\,dx = 2\ln|x-3| - 2\ln|x-2| + \frac{1}{x-2} + C.

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