Questão 2 ( 1.0 ponto). A integral \int_{2}^{x} r^{-2 x} d x é convergente ou divergente? Justifique!

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{2}^{+\infty} r^{-2}\,\mathrm{d}r.
Estamos tratando de uma integral de 1^{\rm a} espécie (limite no infinito) e o integrando é da forma r^{-p}. Vamos usar o teste p para integrais impróprias.

Passo 2

O teste p diz que a integral
\int_{a}^{+\infty} r^{-p}\,\mathrm{d}r
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=2, que satisfaz 2>1. Logo, pela condição do teste p, a integral converge.

Passo 3

Para reforçar, podemos calcular o valor da integral truncada e depois passar ao limite. A antiderivada de r^{-2} é
\int r^{-2}\,\mathrm{d}r = -\,r^{-1} + C = -\frac1r + C.
Então, para b>2,
\int_{2}^{b} r^{-2}\,\mathrm{d}r = \Bigl[-\tfrac1r\Bigr]_{2}^{b} = \Bigl(-\tfrac1b\Bigr)-\Bigl(-\tfrac1{2}\Bigr) = \frac1{2}-\frac1b.
Fazendo b\to+\infty, o termo \tfrac1b\to0, restando
\lim_{b\to+\infty}\int_{2}^{b} r^{-2}\,\mathrm{d}r = \frac12.

Resposta

A integral é convergente, e seu valor é \tfrac12.

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