Calcular
,
onde
é o retângulo de vértices
.
onde
Passo 1
Então, galera, vamos resolver um exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla $ I = \iint_{D} y \sin(x y) , dx , dy $, onde $ D $ é um retângulo definido pelos vértices
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais duplas e aprender a integrar funções dentro de uma região retangular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. O retângulo $ D $ está definido por $ x $ indo de 0 a 1 e $ y $ indo de
a
. Então, podemos escrever a integral assim:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a $ x $. Aqui, $ y $ é tratado como uma constante porque a integração está acontecendo em relação a $ x $. A função que vamos integrar é $ y \sin(x y) $.
Para integrar $ y \sin(x y) $ em relação a $ x $, podemos usar a substituição. Seja $ u = x y $, então $ du = y dx $ ou $ dx = \frac{du}{y} $. Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de $ x $ de 0 a 1:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a $ y $. A integral de $ 1 $ em relação a $ y $ é $ y $, e a integral de $ -\cos(y) $ é $ -\sin(y) $. Assim:
Vamos avaliar isso de
a
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O valor da integral é $ I = \frac{\pi}{2} + 1 $.