Calcular I=integral duplaD y sin x y d x d y,
onde D é o retângulo de vértices (0, pi2),(1, pi2),(1, pi) e(0, pi).

Passo 1

Então, galera, vamos resolver um exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla $ I = \iint_{D} y \sin(x y) , dx , dy $, onde $ D $ é um retângulo definido pelos vértices I = integral duplaD y sin(x y) , dx , dy , D , (0, pi2) e (1, pi2). Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais duplas e aprender a integrar funções dentro de uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. O retângulo $ D $ está definido por $ x $ indo de 0 a 1 e $ y $ indo de D a x . Então, podemos escrever a integral assim:
y

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a $ x $. Aqui, $ y $ é tratado como uma constante porque a integração está acontecendo em relação a $ x $. A função que vamos integrar é $ y \sin(x y) $.
Para integrar $ y \sin(x y) $ em relação a $ x $, podemos usar a substituição. Seja $ u = x y $, então $ du = y dx $ ou $ dx = \frac{du}{y} $. Substituindo na integral:
x

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de $ x $ de 0 a 1:
x
Então, a integral fica:
[ -cos(x y) ]0^1 = -cos(y) + cos(0) = -cos(y) + 1

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a $ y $. A integral de $ 1 $ em relação a $ y $ é $ y $, e a integral de $ -\cos(y) $ é $ -\sin(y) $. Assim:
y
Vamos avaliar isso de 1 a y :
y
Sabemos que -cos(y) e -sin(y) , então:
integral (1 - cos(y)) , dy = y - sin(y) + C

Resposta

O valor da integral é $ I = \frac{\pi}{2} + 1 $.

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