Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de
, lateralmente pela região
delimitada por
e
e inferiormente
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que está limitado de cima pelo gráfico da equação $ z = 4 - x - y $, de lados pela região $ D $ definida por $ x=0 $, $ x=2 $, $ y=0 $ e $ y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} $, e de baixo pelo plano $ z=0 $.
Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais duplas. Precisamos entender bem a região $ D $ no plano $ xy $ e depois integrar a função que define a altura do sólido sobre essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região $ D $. Ela é delimitada pelas retas:
- $ x = 0 $ (eixo y)
- $ x = 2 $ (linha vertical)
- $ y = 0 $ (eixo x)
- $ y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} $
Vamos encontrar os pontos de interseção para saber os limites das integrais.
Passo 3
Encontrando os pontos de interseção:
- Onde $ x=0 $ e $ y=0 $: ponto (0,0).
- Onde $ x=0 $ e $ y=\frac{1}{4}(0) + \frac{1}{2} $: ponto (0, 0.5).
- Onde $ x=2 $ e $ y=0 $: ponto (2,0).
- Onde $ x=2 $ e $ y=\frac{1}{4}(2) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $: ponto (2,1).
Assim, a região $ D $ é um trapézio com vértices em (0,0), (0,0.5), (2,0) e (2,1).
Passo 4
Agora, vamos configurar os limites de integração. Podemos integrar em relação a $ x $ e $ y $, escolhendo $ x $ de 0 a 2, e para cada $ x $, $ y $ vai de 0 até $ \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} $.
A função que representa a altura do sólido é $ z = 4 - x - y $.
Passo 5
Vamos montar a integral dupla para o volume $ V $:
Passo 6
Primeiro, vamos integrar em relação a $ y $:
Substituindo os limites:
Passo 7
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Distribuindo:
Simplificando os termos:
Combinando termos semelhantes:
Passo 8
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a $ x $ de 0 a 2:
Integrando termo a termo:
Passo 9
Substituindo $ x = 2 $:
Simplificando:
Substituindo $ x = 0 $, todos os termos são zero.
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{17}{4} $ unidades cúbicas.