Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z=4-x-y, lateralmente pela região D delimitada por x=2, x=0, y=0 e y=14 x+12 e inferiormente z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que está limitado de cima pelo gráfico da equação $ z = 4 - x - y $, de lados pela região $ D $ definida por $ x=0 $, $ x=2 $, $ y=0 $ e $ y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} $, e de baixo pelo plano $ z=0 $.
Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais duplas. Precisamos entender bem a região $ D $ no plano $ xy $ e depois integrar a função que define a altura do sólido sobre essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região $ D $. Ela é delimitada pelas retas:
  • $ x = 0 $ (eixo y)
  • $ x = 2 $ (linha vertical)
  • $ y = 0 $ (eixo x)
  • $ y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} $
Vamos encontrar os pontos de interseção para saber os limites das integrais.

Passo 3

Encontrando os pontos de interseção:
  1. Onde $ x=0 $ e $ y=0 $: ponto (0,0).
  2. Onde $ x=0 $ e $ y=\frac{1}{4}(0) + \frac{1}{2} $: ponto (0, 0.5).
  3. Onde $ x=2 $ e $ y=0 $: ponto (2,0).
  4. Onde $ x=2 $ e $ y=\frac{1}{4}(2) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $: ponto (2,1).
Assim, a região $ D $ é um trapézio com vértices em (0,0), (0,0.5), (2,0) e (2,1).

Passo 4

Agora, vamos configurar os limites de integração. Podemos integrar em relação a $ x $ e $ y $, escolhendo $ x $ de 0 a 2, e para cada $ x $, $ y $ vai de 0 até $ \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} $.
A função que representa a altura do sólido é $ z = 4 - x - y $.

Passo 5

Vamos montar a integral dupla para o volume $ V $:
V

Passo 6

Primeiro, vamos integrar em relação a $ y $:
y
Substituindo os limites:
integral0^14x + 12 (4 - x - y) , dy = [ (4 - x)y - 12y^2 ]0^14x + 12

Passo 7

Agora, vamos simplificar essa expressão:
= (4 - x)( 14x + 12 ) - 12( 116x^2 + 14x + 14 )
Distribuindo:
= 44x + 4 cdot 12 - x4x - x2 - 132x^2 - 18x - 18
Simplificando os termos:
= x + 2 - 14x^2 - x2 - 132x^2 - 18x - 18
Combinando termos semelhantes:
= -(14 + 132)x^2 + (1 - 12 - 18)x + (2 - 18)
= -932x^2 + 58x + 158

Passo 8

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a $ x $ de 0 a 2:
x
Integrando termo a termo:
V = integral0^2 ( -932x^2 + 58x + 158 ) dx
= -932 cdot x^33 + 58 cdot x^22 + 158x gr|0^2

Passo 9

Substituindo $ x = 2 $:
x = 2
= -996(8) + 516(4) + 158(2)
Simplificando:
= -7296 + 2016 + 308
Substituindo $ x = 0 $, todos os termos são zero.

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{17}{4} $ unidades cúbicas.

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