Calcular I=integral duplaD y sin x y d x d y,
onde D é o retângulo de vértices (0, pi2),(1, pi2),(1, pi) e (0, pi).

Passo 1

Na questão queremos calcular a integral dupla I=integral duplaDysin(xy),dx,dy sobre um retângulo. O conteúdo principal é integrais duplas em retângulos, usando a Teorema de Fubini para escrever como uma integral iterada e, depois, aplicar integração por substituição para resolver a parte em x.

Passo 2

O domínio D é o retângulo com 0<= x<=1 e tfracpi2<= y<=pi. Pela Teorema de Fubini, podemos escrever
I = integral duplaDysin(xy),dx,dy = integraly=pi2^pi!integralx=0^1ysin(xy),dx,dy

Passo 3

Agora vamos calcular primeiro a integral interna em x:
integral0^1ysin(xy),dx

Passo 4

Para isso usamos a substituição u=xy. Logo du=y,dx e, quando x=0, u=0; quando x=1, u=y. A integral vira
integralu=0^ysin(u),du = [-cos(u)]0^y = 1 - cos(y)

Passo 5

Então a integral dupla reduz a
I = integralpi2^pil(1 - cos(y)r),dy

Passo 6

Agora resolvemos essa integral em y. Sabendo que integral1,dy=y e integralcos(y),dy=sin(y), temos
I = l[y - sin(y)r]pi2^pi = l(pi - 0r) - l(tfracpi2 - 1r) = pi2 + 1

Resposta

I = pi2 + 1.

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