Considerando um filtro com resposta ao impulso h(t)=e^-a|t|, com a>0, determine a resposta em frequência H(j omega) desse filtro. Esboce magnitude e fase da respota ao impulso obtida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a resposta em frequência de um filtro cujo resposta ao impulso é , onde . Para isso, vamos precisar usar conceitos de Transformada de Fourier. Vou te guiar passo a passo para que tudo fique claro!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela serve para transformar uma função do tempo H(jomega) = integral-infty^infty h(t) e^-jomega t dt para o domínio da frequência . A fórmula da Transformada de Fourier é:
No nosso caso, , então vamos substituir isso na fórmula.

Passo 3

Vamos substituir H(jomega) = integral-infty^infty e^-a|t| e^-jomega t dt na integral:
Agora, para facilitar a resolução, vamos dividir a integral em duas partes: para e para , já que a função envolve o valor absoluto de .

Passo 4

Dividindo a integral:
H(jomega) = integral-infty^0 e^-a(-t) e^-jomega t dt + integral0^infty e^-a t e^-jomega t dt
Simplificando:
H(jomega) = integral-infty^0 e^a t e^-jomega t dt + integral0^infty e^-a t e^-jomega t dt

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral ( integral-infty^0 e^(a - jomega)t dt = [ e^(a - jomega)ta - jomega ]-infty^0 = 1a - jomega ):
integral0^infty e^-(a + jomega)t dt = [ e^-(a + jomega)t-(a + jomega) ]0^infty = 1a + jomega
Segunda integral ( ):

Passo 6

Agora, somamos as duas integrais para obter H(jomega) = 1a - jomega + 1a + jomega :
H(jomega) = (a + jomega) + (a - jomega)(a - jomega)(a + jomega) = 2aa^2 + omega^2
Vamos simplificar isso:

Passo 7

Então, a resposta em frequência é:
H(jomega) = 2aa^2 + omega^2
Para esboçar a magnitude e a fase de :
  • Magnitude é uma função que atinge seu pico quando e decai simetricamente conforme aumenta.
  • Fase porque a função é sempre positiva e real, não introduzindo defasagem.

Resposta

A resposta em frequência do filtro é . A magnitude de é e a fase é zero.

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