Considerando um filtro com resposta ao impulso
, com
, determine a resposta em frequência
desse filtro. Esboce magnitude e fase da respota ao impulso obtida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a resposta em frequência
de um filtro cujo resposta ao impulso é
, onde
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Transformada de Fourier. Vou te guiar passo a passo para que tudo fique claro!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela serve para transformar uma função do tempo
para o domínio da frequência
. A fórmula da Transformada de Fourier é:
No nosso caso,
, então vamos substituir isso na fórmula.
Passo 3
Vamos substituir
na integral:
Agora, para facilitar a resolução, vamos dividir a integral em duas partes: para
e para
, já que a função envolve o valor absoluto de
.
Passo 4
Dividindo a integral:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral (
):
Segunda integral (
):
Passo 6
Agora, somamos as duas integrais para obter
:
Vamos simplificar isso:
Passo 7
Então, a resposta em frequência é:
Para esboçar a magnitude e a fase de
:
- Magnitude
é uma função que atinge seu pico quando e decai simetricamente conforme aumenta. - Fase
porque a função é sempre positiva e real, não introduzindo defasagem.
Resposta
A resposta em frequência do filtro é
. A magnitude de
é
e a fase é zero.