I=integral3 / 8^2 / 3 d xraiz4 x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar a integral definida:
I = integral38^23 dxraiz4x^2 + 1
Esse problema envolve integração, especificamente integrais definidas com funções que têm uma raiz quadrada no denominador. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Observe que 4x^2 + 1 pode ser escrito como (2x)^2 + 1. Isso nos ajuda a reconhecer uma forma padrão de integral que conhecemos.
Então, reescrevendo a integral:
I = integral38^23 dxraiz(2x)^2 + 1

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos definir:
u = 2x
Isso significa que:
dudx = 2 Rightarrow dx = du2
Vamos substituir u e dx na integral:
I = integral du2raizu^2 + 1 = 12 integral duraizu^2 + 1

Passo 4

Sabemos de tabelas de integrais que:
integral duraizu^2 + a^2 = ln|u + raizu^2 + a^2| + C
No nosso caso, a = 1, então:
integral duraizu^2 + 1 = ln|u + raizu^2 + 1| + C
Aplicando isso à nossa integral:
I = 12 ln|u + raizu^2 + 1| |38 times 2^23 times 2

Passo 5

Vamos substituir os limites de integração de volta para x. Lembre-se que u = 2x, então:
  • Quando x = 38, u = 2 times 38 = 34
  • Quando x = 23, u = 2 times 23 = 43
Agora, substituímos esses valores na expressão:
I = 12 [ ln(43 + raiz(43)^2 + 1) - ln(34 + raiz(34)^2 + 1) ]

Passo 6

Vamos calcular cada parte da expressão:
Primeiro, para u = 43:
raiz(43)^2 + 1 = raiz169 + 1 = raiz259 = 53
Então:
ln(43 + 53) = ln(93) = ln(3)
Segundo, para u = 34:
raiz(34)^2 + 1 = raiz916 + 1 = raiz2516 = 54
Então:
ln(34 + 54) = ln(84) = ln(2)

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de I:
I = 12 [ln(3) - ln(2)] = 12 ln(32)

Resposta

I = 12 ln(32)

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