Nos problemas 1 a 9, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial, sabendo que y1 é uma solução dessa EDO.
x^2 y^prime prime-5 x y^prime+9 y=0 ; y1=x^3

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler–Cauchy
x^2y''-5xy'+9y=0
e uma solução conhecida y1(x)=x^3. O conteúdo aqui é usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução independente.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0 dividindo tudo por x^2:
y''-5xy'+9x^2y=0
Logo p(x)=-tfrac5x e q(x)=tfrac9x^2.

Passo 3

Para reduzir a ordem, usamos a fórmula
y2(x)=y1(x)integral e^-integral p(x)dxy1(x)^2,dx
Calculamos primeiro
integral p(x)dx=integral (-5x)dx=-5ln|x|
e então
e^-integral p(x)dx=e^5ln|x|=|x|^5=x^5(x>0)

Passo 4

Substituindo y1(x)=x^3 na fórmula temos o integrando
$$\frac{x{5}}{(x{3}){2}}=\frac{x{5}}{x{6}}=x{-1}.
x^5(x^3)^2=x^5x^6=x^-1 é\int x^{-1}dx=\ln|x|.
integral x^-1dx=ln|x| y_{2}(x)=x^{3}\ln|x|.$$

Resposta

y_{2}(x)=x^{3}\ln|x|

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