Calcular
sendo
o paralelogramo limitado pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla
onde $ R $ é um paralelogramo delimitado pelas retas $ x - y = 0 $, $ x - y = 1 $, $ y = 2x $ e $ y = 2x - 4 $.
Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas e mudança de variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como identificar os limites de integração para a região $ R $ e, possivelmente, fazer uma mudança de variáveis para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região $ R $ onde vamos integrar. As quatro retas que delimitam $ R $ são:
- $ x - y = 0 $ ⇒ $ y = x $
- $ x - y = 1 $ ⇒ $ y = x - 1 $
- $ y = 2x $
- $ y = 2x - 4 $
Essas retas formam um paralelogramo no plano $ xy $. Para visualizar e determinar os limites de integração, vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas.
Passo 3
Vamos achar os pontos de interseção das retas:
-
Interseção de $ y = x $ e $ y = 2x $:Ponto: $ (0, 0) $
-
Interseção de $ y = x $ e $ y = 2x - 4 $:Ponto: $ (4, 4) $
-
Interseção de $ y = x - 1 $ e $ y = 2x $:Ponto: $ (-1, -2) $
-
Interseção de $ y = x - 1 $ e $ y = 2x - 4 $:Ponto: $ (3, 2) $
Agora temos os quatro vértices do paralelogramo: $ (0, 0) $, $ (4, 4) $, $ (-1, -2) $ e $ (3, 2) $.
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis. Observando as retas que delimitam $ R $, podemos escolher novas variáveis $ u $ e $ v $ de forma que:
Essa escolha simplifica as equações das retas:
- $ x - y = 0 $ ⇒ $ u = 0 $
- $ x - y = 1 $ ⇒ $ u = 1 $
- $ y = 2x $ ⇒ $ v = 0 $
- $ y = 2x - 4 $ ⇒ $ v = -4 $
Isso significa que na nova coordenada $ (u, v) $, a região $ R $ será um retângulo com $ u $ variando de 0 a 1 e $ v $ variando de -4 a 0.
Passo 5
Agora, precisamos expressar $ x $ e $ y $ em termos de $ u $ e $ v $. A partir das definições:
Podemos resolver esse sistema para $ x $ e $ y $:
- Da primeira equação: $ x = u + y $
- Substituindo na segunda equação:
- Substituindo $ y $ na equação $ x = u + y $:
Então, temos:
Passo 6
Também precisamos calcular o determinante Jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O Jacobiano $ J $ é dado por:
Calculando as derivadas:
Logo,
Usamos o valor absoluto do Jacobiano na mudança de variáveis:
Passo 7
Agora, reescrevemos a integral original na nova coordenada $ (u, v) $:
Simplificando a diferença $ x - y $:
Então,
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral iterada:
Primeiro, integramos em $ u $:
Em seguida, integramos em $ v $:
Resposta
O valor da integral $ I $ é igual a $ 2 $.