Calcular
I=integral duplaR(x-y) d x d y
sendo R o paralelogramo limitado pelas retas x-y=0, x-y=1, y=2 x e y=2 x-4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla
I = integral duplaR (x - y) , dx , dy
onde $ R $ é um paralelogramo delimitado pelas retas $ x - y = 0 $, $ x - y = 1 $, $ y = 2x $ e $ y = 2x - 4 $.
Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas e mudança de variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como identificar os limites de integração para a região $ R $ e, possivelmente, fazer uma mudança de variáveis para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região $ R $ onde vamos integrar. As quatro retas que delimitam $ R $ são:
  1. $ x - y = 0 $  ⇒  $ y = x $
  2. $ x - y = 1 $  ⇒  $ y = x - 1 $
  3. $ y = 2x $
  4. $ y = 2x - 4 $
Essas retas formam um paralelogramo no plano $ xy $. Para visualizar e determinar os limites de integração, vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas.

Passo 3

Vamos achar os pontos de interseção das retas:
  • Interseção de $ y = x $ e $ y = 2x $:
    y = x
    Ponto: $ (0, 0) $
  • Interseção de $ y = x $ e $ y = 2x - 4 $:
    y = 2x
    Ponto: $ (4, 4) $
  • Interseção de $ y = x - 1 $ e $ y = 2x $:
    x = 2x implies x = 0 implies y = 0
    Ponto: $ (-1, -2) $
  • Interseção de $ y = x - 1 $ e $ y = 2x - 4 $:
    (0, 0)
    Ponto: $ (3, 2) $
Agora temos os quatro vértices do paralelogramo: $ (0, 0) $, $ (4, 4) $, $ (-1, -2) $ e $ (3, 2) $.

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis. Observando as retas que delimitam $ R $, podemos escolher novas variáveis $ u $ e $ v $ de forma que:
R
Essa escolha simplifica as equações das retas:
  • $ x - y = 0 $  ⇒  $ u = 0 $
  • $ x - y = 1 $  ⇒  $ u = 1 $
  • $ y = 2x $  ⇒  $ v = 0 $
  • $ y = 2x - 4 $  ⇒  $ v = -4 $
Isso significa que na nova coordenada $ (u, v) $, a região $ R $ será um retângulo com $ u $ variando de 0 a 1 e $ v $ variando de -4 a 0.

Passo 5

Agora, precisamos expressar $ x $ e $ y $ em termos de $ u $ e $ v $. A partir das definições:
x
Podemos resolver esse sistema para $ x $ e $ y $:
  1. Da primeira equação: $ x = u + y $
  2. Substituindo na segunda equação: y
  3. Substituindo $ y $ na equação $ x = u + y $: u
Então, temos:
v

Passo 6

Também precisamos calcular o determinante Jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O Jacobiano $ J $ é dado por:
J
Calculando as derivadas:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
partial xpartial u = -1, partial xpartial v = -1
Logo,
partial ypartial u = -2, partial ypartial v = -1
Usamos o valor absoluto do Jacobiano na mudança de variáveis:
J = (-1)(-1) - (-1)(-2) = 1 - 2 = -1

Passo 7

Agora, reescrevemos a integral original na nova coordenada $ (u, v) $:
(u, v)
Simplificando a diferença $ x - y $:
I = integral duplaR (x - y) , dx , dy = integral duplaR' ( (-u - v) - (-2u - v) ) cdot |J| , du , dv
Então,
x - y

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral iterada:
Primeiro, integramos em $ u $:
u
Em seguida, integramos em $ v $:
integralu=0^1 u , du = [ u^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12

Resposta

O valor da integral $ I $ é igual a $ 2 $.

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