Resolva as equações diferenciais:
resp.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x·(dy/dx)=y+x²·sen x com condição inicial y(π)=0. Vamos usar que se trata de uma equação linear em y, então precisamos escrevê-la na forma padrão dy/dx+P(x)y=Q(x) e aplicar fator integrante.
x·(dy/dx)=y+x²·sen x com condição inicial y(π)=0. Vamos usar que se trata de uma equação linear em y, então precisamos escrevê-la na forma padrão dy/dx+P(x)y=Q(x) e aplicar fator integrante.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por x (supondo x≠0) obtemos
Aqui P(x)=−1/x e Q(x)=x·sen x.
Passo 3
O fator integrante μ(x) vem de
Passo 4
Multiplicando a equação padrão por μ(x)=1/x temos
E o lado esquerdo é exatamente a derivada de y/x, isto é
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a x:
Portanto a solução geral é
y= -x\cos x + Cx.
y= -x\cos x + Cx.
Passo 6
Usando a condição inicial y(π)=0:
Daí 1+C=0, logo C=−1. Substituindo em y(x) obtemos a solução particular.