Resolva as equações diferenciais:
x cdot d yd x=y+x^2 cdot sen x y(pi)=0 resp. y=-x cdot cos x-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x·(dy/dx)=y+x²·sen x com condição inicial y(π)=0. Vamos usar que se trata de uma equação linear em y, então precisamos escrevê-la na forma padrão dy/dx+P(x)y=Q(x) e aplicar fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x (supondo x≠0) obtemos
dydx-1xy=x,sin x
Aqui P(x)=−1/x e Q(x)=x·sen x.

Passo 3

O fator integrante μ(x) vem de
μ(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(integral -1xdxr)=exp(-ln x)=1x

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por μ(x)=1/x temos
1xdydx-1x^2y=sin x
E o lado esquerdo é exatamente a derivada de y/x, isto é
ddxl(yxr)=sin x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
yx=integralsin x,dx=-cos x+C
Portanto a solução geral é
y= -x\cos x + Cx.

Passo 6

Usando a condição inicial y(π)=0:
0=-πcos π + Cπ = -π(-1)+Cπ = π(1+C)
Daí 1+C=0, logo C=−1. Substituindo em y(x) obtemos a solução particular.

Resposta

y=-x,cos x - x

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