Existe alguma função f cujas derivadas parciais são fx(x, y)=x+4 y e fy(x, y)=3 x-y ?

Passo 1

O enunciado pede para saber se existe uma função f(x,y) cuja derivadas parciais satisfaçam f_x(x,y)=x+4y e f_y(x,y)=3x−y. Vamos usar a ideia de potencial (ou seja, integrar uma derivada parcial e depois conferir compatibilidade com a outra) e também o teste de igualdade das derivadas mistas (teorema de Schwarz).

Passo 2

Integramos f_x(x,y)=x+4y em relação a x para obter uma expressão geral de f(x,y) com uma “constante” de integração que pode depender de y.
f(x,y)= integral(x+4y),dx=x^22+4xy+g(y)

Passo 3

Calculamos agora a derivada parcial desta expressão em relação a y e igualamos a f_y(x,y)=3x−y.
partialpartial yl(tfracx^22+4xy+g(y)r)=4x+g'(y)
Queremos que 4x+g’(y)=3x−y. Isolando g’(y) obtemos g’(y)=−x−y, mas isso depende de x, o que é impossível pois g só varia em função de y. Logo há contradição.

Passo 4

Como verificação alternativa, avaliamos as derivadas mistas:
fxy=partialpartial y(x+4y)=4,
fyx=partialpartial x(3x−y)=3
Como f_{xy}\neq f_{yx}, a condição necessária para existência de potencial não se satisfaz, confirmando que não existe função f.

Passo 5

Portanto, não há função f(x,y) que tenha as derivadas parciais dadas, pois as derivadas mistas não coincidem e a integração leva a contradição.

Resposta

Não existe tal função, pois f_{xy}(x,y)=4 e f_{yx}(x,y)=3, logo as derivadas mistas são diferentes e não há potencial f.

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