1. Esboçar a região de integração e calcular da integral
\int_{1}^{2} \int_{x}^{x^{2}}(x-y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Esboçar a região de integração do integral
\int_{1}^{2}\int_{x}^{x^{2}}(x-y)\,dy\,dx.
  • Calcular o valor dessa integral dupla.
Informações dadas:
  • A variável externa tem x variando de 1 a 2: 1\le x\le2.
  • Para cada x nessa faixa, y varia de y=x até y=x^{2}: x\le y\le x^{2}.
  • O integrando é (x-y).

Passo 2

Entender a região no plano (x,y):
  • As curvas que aparecem nos limites são y=x (reta) e y=x^{2} (parábola).
  • Para x\ge1 tem-se x^{2}\ge x (pois x^{2}-x=x(x-1)\ge0). Logo, para x\in[1,2] a parábola está acima da reta.
  • A região D é o conjunto de pontos
D=\{(x,y)\mid 1\le x\le2,\; x\le y\le x^{2}\},
ou seja, a “faixa” entre a reta y=x e a parábola y=x^{2}, com x indo de 1 até 2. Pontos notáveis: no x=1 as duas curvas se encontram em y=1; em x=2 a faixa vai de y=2 até y=4.
Como esboçar (descrição passo a passo para desenhar na prova):
  • Desenhar os eixos x (horizontal) e y (vertical).
  • Marcar x=1 e x=2.
  • Desenhar a reta y=x.
  • Desenhar a parábola y=x^{2}.
  • Sombrear a região entre as duas curvas para 1\le x\le2. Essa é a região de integração.

Passo 3

(Escolha do método) Vou calcular a integral diretamente na ordem dada ( dy interno), porque os limites internos são funções simples de x e a integral em y é elementar. Depois mostro como seria trocar a ordem caso queira conferir.
Regra útil: ao integrar (x-y) em relação a y, tratar x como constante. As antiderivadas básicas usadas:
  • \displaystyle \int x\,dy = x y (porque x é constante em y);
  • \displaystyle \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.

Passo 4

Calcular a integral interna em y:
\int_{x}^{x^{2}}(x-y)\,dy
usar as antiderivadas:
\int (x-y)\,dy = x y - \frac{y^{2}}{2}.
Avaliar entre y=x e y=x^{2}:
\left[x y - \frac{y^{2}}{2}\right]_{y=x}^{y=x^{2}} = \left(x\cdot x^{2} - \frac{(x^{2})^{2}}{2}\right) - \left(x\cdot x - \frac{x^{2}}{2}\right).
Agora simplificar termo a termo:
x\cdot x^{2}=x^{3},\qquad \frac{(x^{2})^{2}}{2}=\frac{x^{4}}{2},\qquad x\cdot x=x^{2}.
Substituindo:
x^{3}-\frac{x^{4}}{2}-\left(x^{2}-\frac{x^{2}}{2}\right) = x^{3}-\frac{x^{4}}{2}-x^{2}+\frac{x^{2}}{2}.
Combinar os termos em x^{2}:
x^{3}-\frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{2}}{2}.
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral unidimensional:
\int_{1}^{2}\left(x^{3}-\frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{2}}{2}\right)\,dx.

Passo 5

Integrar em x. Saber antiderivadas de potência:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aplicando termo a termo:
\int\left(x^{3}-\frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{2}}{2}\right)\,dx = \frac{x^{4}}{4}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{5}}{5}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3}.
Simplificar os coeficientes:
\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{5}}{10}-\frac{x^{3}}{6}.
Agora avaliar de x=1 até x=2:
  • Valor em x=2:
\frac{2^{4}}{4}-\frac{2^{5}}{10}-\frac{2^{3}}{6} = \frac{16}{4}-\frac{32}{10}-\frac{8}{6} =4-\frac{16}{5}-\frac{4}{3}.
  • Valor em x=1:
\frac{1^{4}}{4}-\frac{1^{5}}{10}-\frac{1^{3}}{6} = \frac{1}{4}-\frac{1}{10}-\frac{1}{6}.
Subtrair (valor em 2 menos valor em 1). Para somar frações, usar denominador comum 60:
4=\frac{240}{60},\quad \frac{16}{5}=\frac{192}{60},\quad \frac{4}{3}=\frac{80}{60},
logo o valor em 2 é
\frac{240}{60}-\frac{192}{60}-\frac{80}{60}=\frac{240-192-80}{60}=\frac{-32}{60}=-\frac{8}{15}.
O valor em 1 é
\frac{1}{4}-\frac{1}{10}-\frac{1}{6}=\frac{15-6-10}{60}=\frac{-1}{60}.
Subtraindo:
\left(-\frac{8}{15}\right)-\left(-\frac{1}{60}\right) = -\frac{8}{15}+\frac{1}{60}.
Colocar em denominador 60:
-\frac{8}{15} = -\frac{32}{60},\quad -\frac{32}{60}+\frac{1}{60}=-\frac{31}{60}.

Passo 6

(Comentário pedagógico e checagem rápida) O resultado é negativo, o que faz sentido: para cada ponto da região tem-se y\ge x, logo x-y\le0, então a integral da função sobre a região deve ser menor ou igual a zero. Também poderia trocar a ordem de integração como verificação; fazendo isso (dividindo o intervalo de y em [1,2] e [2,4]) chega-se ao mesmo valor numérico -\tfrac{31}{60}.

Resposta

-\dfrac{31}{60}

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