- Esboçar a região de integração e calcular da integral
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Esboçar a região de integração do integral
- Calcular o valor dessa integral dupla.
Informações dadas:
- A variável externa tem
variando de a : . - Para cada
nessa faixa, varia de até : . - O integrando é
.
Passo 2
Entender a região no plano
:
- As curvas que aparecem nos limites são
(reta) e (parábola). - Para
tem-se (pois ). Logo, para a parábola está acima da reta. - A região
é o conjunto de pontos
ou seja, a “faixa” entre a reta
e a parábola
, com
indo de
até
. Pontos notáveis: no
as duas curvas se encontram em
; em
a faixa vai de
até
.
Como esboçar (descrição passo a passo para desenhar na prova):
- Desenhar os eixos
(horizontal) e (vertical). - Marcar
e . - Desenhar a reta
. - Desenhar a parábola
. - Sombrear a região entre as duas curvas para
. Essa é a região de integração.
Passo 3
(Escolha do método) Vou calcular a integral diretamente na ordem dada (
interno), porque os limites internos são funções simples de
e a integral em
é elementar. Depois mostro como seria trocar a ordem caso queira conferir.
Regra útil: ao integrar
em relação a
, tratar
como constante. As antiderivadas básicas usadas:
-
(porque é constante em ); -
.
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
usar as antiderivadas:
Avaliar entre
e
:
Agora simplificar termo a termo:
Substituindo:
Combinar os termos em
:
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral unidimensional:
Passo 5
Integrar em
. Saber antiderivadas de potência:
Aplicando termo a termo:
Simplificar os coeficientes:
Agora avaliar de
até
:
- Valor em
:
- Valor em
:
Subtrair (valor em
menos valor em
). Para somar frações, usar denominador comum
:
logo o valor em
é
O valor em
é
Subtraindo:
Colocar em denominador
:
Passo 6
(Comentário pedagógico e checagem rápida) O resultado é negativo, o que faz sentido: para cada ponto da região tem-se
, logo
, então a integral da função sobre a região deve ser menor ou igual a zero. Também poderia trocar a ordem de integração como verificação; fazendo isso (dividindo o intervalo de
em
e
) chega-se ao mesmo valor numérico
.