Calcular \iint_{R}(x y+y) d x d y, onde R é o retângulo \left\{\begin{array}{l}0 \leq x \leq 1 \\\\ 0 \leq y \leq 2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}(x y+y)\,dx\,dy,
onde R é o retângulo dado por
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 2.
Informações relevantes (tirei estas do enunciado):
A região de integração é um retângulo com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 2.
A função integranda é x y+y.
O que se pede: o valor numérico da integral dupla sobre R.
Passo 2
Escolhendo a forma de calcular: como a região R é um retângulo e a integranda é uma função polinomial (contínua), podemos usar a regra de Fubini e transformar a integral dupla numa integral iterada (integrar primeiro em x e depois em y, ou vice‑versa). Em provas isso é a forma mais direta.
Lembrete rápido sobre a ideia (mini‑aula):
Fubini (caso simples): se f(x,y) é contínua em um retângulo a\le x\le b,\; c\le y\le d, então
Ao integrar em relação a x, trate y como constante; ao integrar em relação a y, trate x como constante.
Regras de primitivação usadas aqui: \displaystyle\int x\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2} e \displaystyle\int 1\,dx = x. A linearidade permite separar somas e fatorar constantes.
Passo 3
Escrevemos a integral iterada integrando primeiro em x:
\iint_{R}(x y+y)\,dx\,dy = \int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=0}^{1} (x y + y)\,dx\right)dy.
Agora calculamos a integral interna \displaystyle\int_{0}^{1} (x y + y)\,dx. Como y é constante nessa integração, podemos fatorar y:
\int_{0}^{1} (x y + y)\,dx = \int_{0}^{1} y(x+1)\,dx = y \int_{0}^{1} (x+1)\,dx.
que é exatamente o que fizemos; quando a integranda separa em produto de função de x por função de y isso costuma simplificar ainda mais. Respire fundo: polinômios e retângulos são sempre os amigos nas integrais duplas.