1. Calcular \iint_{R}(x y+y) d x d y, onde R é o retângulo \left\{\begin{array}{l}0 \leq x \leq 1 \\\\ 0 \leq y \leq 2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}(x y+y)\,dx\,dy,
onde R é o retângulo dado por
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 2.
Informações relevantes (tirei estas do enunciado):
  • A região de integração é um retângulo com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 2.
  • A função integranda é x y+y.
    O que se pede: o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Escolhendo a forma de calcular: como a região R é um retângulo e a integranda é uma função polinomial (contínua), podemos usar a regra de Fubini e transformar a integral dupla numa integral iterada (integrar primeiro em x e depois em y, ou vice‑versa). Em provas isso é a forma mais direta.
Lembrete rápido sobre a ideia (mini‑aula):
  • Fubini (caso simples): se f(x,y) é contínua em um retângulo a\le x\le b,\; c\le y\le d, então
\iint_{R} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\right)dy = \int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\right)dx.
  • Ao integrar em relação a x, trate y como constante; ao integrar em relação a y, trate x como constante.
  • Regras de primitivação usadas aqui: \displaystyle\int x\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2} e \displaystyle\int 1\,dx = x. A linearidade permite separar somas e fatorar constantes.

Passo 3

Escrevemos a integral iterada integrando primeiro em x:
\iint_{R}(x y+y)\,dx\,dy = \int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=0}^{1} (x y + y)\,dx\right)dy.
Agora calculamos a integral interna \displaystyle\int_{0}^{1} (x y + y)\,dx. Como y é constante nessa integração, podemos fatorar y:
\int_{0}^{1} (x y + y)\,dx = \int_{0}^{1} y(x+1)\,dx = y \int_{0}^{1} (x+1)\,dx.

Passo 4

Calculando a primitiva de x+1 em x:
\int (x+1)\,dx = \int x\,dx + \int 1\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2} + x.
Aplicando os limites 0 e 1:
\int_{0}^{1} (x+1)\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^{2}+x\right]_{0}^{1} = \left(\tfrac{1}{2}\cdot1^{2}+1\right)-0 = \tfrac{1}{2}+1 = \tfrac{3}{2}.
Portanto a integral interna vale
\int_{0}^{1} (x y + y)\,dx = y\cdot \tfrac{3}{2} = \tfrac{3}{2}y.

Passo 5

Agora integramos em y de 0 a 2:
\iint_{R}(x y+y)\,dx\,dy = \int_{0}^{2} \tfrac{3}{2}y\,dy = \tfrac{3}{2}\int_{0}^{2} y\,dy.
A primitiva de y é \tfrac{1}{2}y^{2}. Avaliando:
\tfrac{3}{2}\int_{0}^{2} y\,dy = \tfrac{3}{2}\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{2} = \tfrac{3}{2}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}\right) = \tfrac{3}{2}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\cdot 4\right) = \tfrac{3}{2}\cdot 2 = 3.

Passo 6

Comentário final (dica de prova): outra maneira rápida era notar que x y+y = y(x+1) e escrever
\iint_{R} y(x+1)\,dx\,dy = \int_{0}^{2} y\left(\int_{0}^{1} (x+1)\,dx\right)dy,
que é exatamente o que fizemos; quando a integranda separa em produto de função de x por função de y isso costuma simplificar ainda mais. Respire fundo: polinômios e retângulos são sempre os amigos nas integrais duplas.

Resposta

3

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