Calcular
\iint_{S} F . n d S, onde
F(x, y, z)=\left(x z e^{y},-x z e^{y}, z\right) e
S é parte do plano
x+y+z=1, no primeiro octante, orientado pela normal apontando para baixo.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}F\cdot n\,dS
onde F(x,y,z)=(xze^{y},\,-xze^{y},\,z) e S é a parte do plano
x+y+z=1
no primeiro octante, orientada por uma normal apontando para baixo.
Conteúdo: integral de superfície de fluxo, usando parametrização de S como gráfico de z=1-x-y.

Passo 2

Parametrizamos S por
\mathbf r(x,y)=(x,y,\,1-x-y),
com (x,y) no triângulo
T=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}.
O vetor normal não unitário ao gráfico é
\mathbf r_x\times\mathbf r_y =\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\\ 1&0&-1\\\\ 0&1&-1 \end{vmatrix} =(1,1,1).
Esse normal aponta para cima; para apontar para baixo, tomamos \mathbf n_0=(-1,-1,-1).

Passo 3

O elemento de área é
dS=\bigl\|\mathbf r_x\times\mathbf r_y\bigr\|\,dx\,dy =\sqrt{1^2+1^2+1^2}\,dx\,dy=\sqrt3\,dx\,dy.
Portanto o fluxo é
\iint_SF\cdot n\,dS =\iint_TF\bigl(\mathbf r(x,y)\bigr)\cdot\frac{\mathbf n_0}{\|\mathbf n_0\|}\,\|\mathbf r_x\times\mathbf r_y\|\,dx\,dy =\iint_TF\bigl(\mathbf r(x,y)\bigr)\cdot\mathbf n_0\,dx\,dy,
pois \|\mathbf n_0\|=\sqrt3 e cancela com dS.

Passo 4

Em \mathbf r(x,y) temos z=1-x-y. Logo
F\bigl(\mathbf r(x,y)\bigr) =\bigl(x(1-x-y)e^y,\,-x(1-x-y)e^y,\;1-x-y\bigr).
E
F\cdot\mathbf n_0 =-\bigl[x(1-x-y)e^y\bigr] - \bigl[-x(1-x-y)e^y\bigr] - (1-x-y) =-\,(1-x-y).
Assim o integrando é -z=-\bigl(1-x-y\bigr).

Passo 5

Ficamos com
\iint_T\bigl(-1+x+y\bigr)\,dx\,dy,
onde T\colon 0\le x\le1,\;0\le y\le1-x.
Calculamos
\int_{x=0}^1\int_{y=0}^{1-x}(-1+x+y)\,dy\,dx.
A integral interna é
\int_0^{1-x}(-1+x+y)\,dy =(-1+x)(1-x)+\frac{(1-x)^2}{2} =-\tfrac12 +x -\tfrac{x^2}{2}.
Agora integrar em x de 0 a 1:
\int_0^1\Bigl(x-\tfrac12-\tfrac{x^2}{2}\Bigr)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x}{2}-\tfrac{x^3}{6}\Bigr]_0^1 =-\tfrac16.

Resposta

\iint_{S}F\cdot n\,dS=-\frac{1}{6}.

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