Determine o fluxo do campo vetorial
\vec{F}(x, y, z)=\left(y,-x, z^{2}\right) através da superfície
S: x^{2}+y^{2}=z, com
0 \leq z \leq 1 na direção do vetor normal
\vec{n} exterior.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
\displaystyle \vec F(x,y,z) = \bigl(y,\,-x,\,z^2\bigr)
através da superfície parabólica
\displaystyle S:\;x^2+y^2 = z,\;0\le z\le1,
com o vetor normal apontando para fora do volume que ela e o disco z=1 delimitam.
Vamos usar o Teorema da Divergência para o volume V limitado lateralmente por S e superiormente pelo disco D:\;z=1,\;x^2+y^2\le1.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total pelo contorno de V satisfaz
\iint_{\partial V}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_V\bigl(\nabla\!\cdot\!\vec F\bigr)\,dV.
Aqui \partial V=S\cup D. Logo
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS +\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_V(\nabla\!\cdot\!\vec F)\,dV.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec F:
\nabla\!\cdot\!\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(y) +\frac{\partial}{\partial y}(-x) +\frac{\partial}{\partial z}(z^2) =0+0+2z =2z.

Passo 4

Escrever o volume V em coordenadas cilíndricas:
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le1,\quad r^2\le z\le1.
Logo
\iiint_V2z\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{r^2}^{1}2z\,(r\,dz\,dr\,d\theta).

Passo 5

Calcular a integral tripla:
\int_{r^2}^{1}2z\,dz =\bigl[z^2\bigr]_{r^2}^{1} =1-(r^2)^2 =1-r^4.
Então
\iiint_V2z\,dV =\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{1}(1-r^4)\,r\,dr =2\pi\int_{0}^{1}(r-r^5)\,dr =2\pi\Bigl[\tfrac12-\tfrac16\Bigr] =\frac{2\pi}{3}.

Passo 6

Calcular o fluxo através do disco D em z=1. O normal exterior está em \,(0,0,1), e
\vec F\bigl|_{z=1} = (y,\,-x,\,1), \quad \vec F\cdot\vec n = 1.
Portanto
\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iint_{x^2+y^2\le1}1\,dA =\pi.

Passo 7

Do Teorema da Divergência temos
\frac{2\pi}{3} =\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS +\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS + \pi.
Logo o fluxo pela superfície S é
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS =\frac{2\pi}{3}-\pi =-\frac{\pi}{3}.

Resposta

-\frac{\pi}{3}.

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