Determine o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(y,-x, z^{2}\right) através da superfície S: x^{2}+y^{2}=z, com 0 \leq z \leq 1 na direção do vetor normal \vec{n} exterior.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo \displaystyle \vec F(x,y,z) = \bigl(y,\,-x,\,z^2\bigr)
através da superfície parabólica \displaystyle S:\;x^2+y^2 = z,\;0\le z\le1,
com o vetor normal apontando para fora do volume que ela e o disco z=1 delimitam.
Vamos usar o Teorema da Divergência para o volume V limitado lateralmente por S e superiormente pelo disco D:\;z=1,\;x^2+y^2\le1.
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total pelo contorno de V satisfaz