Calcular
\iint_{S} F . n d S, onde
F(x, y, z)=\left( \frac{y}{2}, \frac{x}{2}, z\right) e
S é a fronteira do sólido determinado por
0 \leq z \leq 1-x^{2}-y^{2}, orientado com normal apontando para o interior do sólido.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf F(x,y,z) = \bigl(\tfrac y2,\tfrac x2,z\bigr) pela superfície fechada S do sólido
V=\{(x,y,z)\mid 0\le z\le 1 - x^2 - y^2\},
com a normal apontando para o interior de V. O conteúdo a usar é o teorema da divergência (Gauss), lembrando que a orientação pedida é a interna e não a externa.

Passo 2

Pelo teorema da divergência, o fluxo com normal para fora satisfaz
\iint_{S}\mathbf F\cdot \mathbf n_{\rm out}\,dS =\iiint_{V}\!\bigl(\nabla\cdot \mathbf F\bigr)\,dV.
Como queremos a normal para dentro, teremos
\iint_{S}\mathbf F\cdot \mathbf n_{\rm in}\,dS =-\iint_{S}\mathbf F\cdot \mathbf n_{\rm out}\,dS =-\iiint_{V}\!\bigl(\nabla\cdot \mathbf F\bigr)\,dV.

Passo 3

Calculamos a divergência de \mathbf F:
\nabla\cdot \mathbf F =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac y2\Bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac x2\Bigr) +\frac{\partial}{\partial z}(z) =0+0+1 =1.

Passo 4

Então
\iiint_{V}(\nabla\cdot \mathbf F)\,dV =\iiint_{V}1\,dV =\text{Vol}(V).
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), V é dado por 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi, 0\le z\le1-r^2. Assim
\text{Vol}(V) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1-r^2} r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}(1-r^2)\,r\,dr =2\pi\Bigl[\tfrac12r^2-\tfrac14r^4\Bigr]_0^1 =2\pi\bigl(\tfrac12-\tfrac14\bigr) =\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Voltando ao fluxo com normal interna:
\iint_{S}\mathbf F\cdot \mathbf n_{\rm in}\,dS =-\iiint_{V}1\,dV =-\frac{\pi}{2}.

Resposta

-\frac{\pi}{2}.

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