Calcular \iint_{S} x y d S, onde S é a superfície parametrizada por \sigma(u, v)=(u, v, 2 u+v-1), com 0 \leq u \leq 1 e 0 \leq v \leq 4.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x y \, dS
onde a superfície S é dada pela parametrização
\sigma(u,v) = (u,\, v,\, 2u+v-1)
com 0 \leq u \leq 1 e 0 \leq v \leq 4.\n
Informações importantes que temos:
x=u,\quad y=v,\quad z=2u+v-1
o domínio no plano (u,v) é o retângulo
D=\{(u,v)\mid 0\le u\le 1,\;0\le v\le 4\}.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que usamos para integrar uma função escalar f(x,y,z) sobre uma superfície parametrizada. Se \sigma(u,v) é a parametrização e D o domínio em (u,v), então
são as derivadas parciais da parametrização em relação a u e v. O produto vetorial \sigma_u\times\sigma_v dá um vetor normal à superfície; seu módulo \big\|\sigma_u\times\sigma_v\big\| é o fator de escala que transforma a área du\,dv no plano-parametrização na área sobre a superfície dS. Em palavras: substituímos a função na parametrização e multiplicamos pelo “tamanho” do pedaço de superfície correspondente a du\,dv.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais da parametrização. Como
Aqui eu calculei componente a componente: por exemplo, a terceira componente de \sigma é 2u+v-1, então \partial/\partial u dá 2 e \partial/\partial v dá 1.
Passo 4
Calcular o produto vetorial \sigma_u\times\sigma_v. Usando a fórmula