Calcular \iint_{S} x y d S, onde S é a superfície parametrizada por \sigma(u, v)=(u, v, 2 u+v-1), com 0 \leq u \leq 1 e 0 \leq v \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x y \, dS
onde a superfície S é dada pela parametrização
\sigma(u,v) = (u,\, v,\, 2u+v-1)
com 0 \leq u \leq 1 e 0 \leq v \leq 4.\n
Informações importantes que temos:
x=u,\quad y=v,\quad z=2u+v-1
o domínio no plano (u,v) é o retângulo
D=\{(u,v)\mid 0\le u\le 1,\;0\le v\le 4\}.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que usamos para integrar uma função escalar f(x,y,z) sobre uma superfície parametrizada. Se \sigma(u,v) é a parametrização e D o domínio em (u,v), então
\iint_{S} f(x,y,z)\,dS \;=\; \iint_{D} f\big(\sigma(u,v)\big)\,\big\|\sigma_u\times\sigma_v\big\|\,du\,dv.
Explicando cada peça dessa fórmula:
\sigma_u=\frac{\partial\sigma}{\partial u},\qquad \sigma_v=\frac{\partial\sigma}{\partial v}
são as derivadas parciais da parametrização em relação a u e v. O produto vetorial \sigma_u\times\sigma_v dá um vetor normal à superfície; seu módulo \big\|\sigma_u\times\sigma_v\big\| é o fator de escala que transforma a área du\,dv no plano-parametrização na área sobre a superfície dS. Em palavras: substituímos a função na parametrização e multiplicamos pelo “tamanho” do pedaço de superfície correspondente a du\,dv.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais da parametrização. Como
\sigma(u,v)=(u,\,v,\,2u+v-1),
temos
\sigma_u = \frac{\partial\sigma}{\partial u} = (1,\,0,\,2)
e
\sigma_v = \frac{\partial\sigma}{\partial v} = (0,\,1,\,1).
Aqui eu calculei componente a componente: por exemplo, a terceira componente de \sigma é 2u+v-1, então \partial/\partial u 2 e \partial/\partial v 1.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \sigma_u\times\sigma_v. Usando a fórmula
(a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3) = (a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1),
com \sigma_u=(1,0,2) e \sigma_v=(0,1,1), obtemos
\sigma_u\times\sigma_v = (0\cdot1 - 2\cdot1,\; 2\cdot0 - 1\cdot1,\; 1\cdot1 - 0\cdot0) = (-2,\,-1,\,1).

Passo 5

Calcular o módulo do produto vetorial, que é o fator de área:
\big\|\sigma_u\times\sigma_v\big\| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}.
Note que esse fator é constante aqui (não depende de u nem de v), o que simplifica bastante a integral.

Passo 6

Substituir a função integranda na parametrização. A função é f(x,y,z)=xy. Como x=u e y=v, temos
f\big(\sigma(u,v)\big) = u v.
Portanto o integrando na fórmula da superfície fica u v \cdot \big\|\sigma_u\times\sigma_v\big\| = u v \sqrt{6}.

Passo 7

Montar a integral dupla sobre o domínio D:
\iint_{S} x y \, dS \;=\; \iint_{D} u v \sqrt{6}\, du\,dv \;=\; \sqrt{6}\iint_{D} u v\, du\,dv.
Como D é o retângulo 0\le u\le1,\;0\le v\le4, a integral separa-se:
\iint_{D} u v\, du\,dv = \left(\int_{0}^{1} u\,du\right)\left(\int_{0}^{4} v\,dv\right).

Passo 8

Calcular as integrais simples. Primeiro
\int_{0}^{1} u\,du = \left[\frac{u^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Depois
\int_{0}^{4} v\,dv = \left[\frac{v^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = \frac{16}{2} = 8.
Multiplicando,
\iint_{D} u v\, du\,dv = \frac{1}{2}\cdot 8 = 4.

Passo 9

Agora multiplicamos pelo fator \sqrt{6} que estava fora:
\iint_{S} x y \, dS = \sqrt{6}\cdot 4 = 4\sqrt{6}.

Resposta

4\sqrt{6}

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