Não há mais informação ocultada: a parametrização já é completa e o intervalo de t está dado.
Passo 2
Qual a fórmula que usamos aqui? Quando temos uma integral de linha de uma função escalar f(x,y) em relação ao comprimento de arco ds sobre uma curva parametrizada por r(t)=(x(t),y(t)), usamos a fórmula
Explicando devagar: f(x,y) é a função que estamos integrando (aqui f(x,y)=1+xy^{2}). A expressão r'(t) é o vetor derivada \big(x'(t),y'(t)\big). O seu comprimento \big|r'(t)\big|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} dá a velocidade com que percorremos a curva; multiplicando f por esse comprimento e integrando em t obtemos a integral em comprimento de arco. Essa é a fórmula que vamos aplicar aqui.
Passo 3
Calculemos r'(t) e seu comprimento \big|r'(t)\big|. Como
Calculemos os integrais dentro do colchete separadamente. Primeiro
\int_{0}^{1}1\,dt = 1.
Segundo, note que fazer a substituição u=1-t é útil para \int_{0}^{1}(1-t)^{3}dt. Com u=1-t temos du=-dt; quando t=0 então u=1, e quando t=1 então u=0. Assim
Interpretação rápida: o integrando médio ao longo da curva foi 2 (no sentido da integral em t), e o comprimento efetivo por unidade de t foi \sqrt{5}, daí o produto.