Usando a parametrização dada, calcule a integral de linha \int_{C}\left(1+x y^{2}\right) d s
C: r(t)=(1-t, 2-2 t) \operatorname{com} 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\left(1+xy^{2}\right)\,ds
onde a curva C é dada pela parametrização
r(t)=(1-t,\;2-2t)\quad\text{com}\quad 0\le t\le 1.
Informações relevantes fornecidas:
x(t)=1-t,\qquad y(t)=2-2t,\qquad t\in[0,1].
Não há mais informação ocultada: a parametrização já é completa e o intervalo de t está dado.

Passo 2

Qual a fórmula que usamos aqui? Quando temos uma integral de linha de uma função escalar f(x,y) em relação ao comprimento de arco ds sobre uma curva parametrizada por r(t)=(x(t),y(t)), usamos a fórmula
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\big|r'(t)\big|\,dt.
Explicando devagar: f(x,y) é a função que estamos integrando (aqui f(x,y)=1+xy^{2}). A expressão r'(t) é o vetor derivada \big(x'(t),y'(t)\big). O seu comprimento \big|r'(t)\big|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} dá a velocidade com que percorremos a curva; multiplicando f por esse comprimento e integrando em t obtemos a integral em comprimento de arco. Essa é a fórmula que vamos aplicar aqui.

Passo 3

Calculemos r'(t) e seu comprimento \big|r'(t)\big|. Como
x(t)=1-t\quad\Rightarrow\quad x'(t)=-1,
y(t)=2-2t\quad\Rightarrow\quad y'(t)=-2,
temos
r'(t)=(-1,\,-2).
O comprimento é
\big|r'(t)\big|=\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
Observação importante: \big|r'(t)\big| é constante aqui, o que simplifica muito a integral.

Passo 4

Substituímos x(t) e y(t) em f(x,y)=1+xy^{2}. Primeiro calculemos y(t)^{2}:
y(t)^{2}=(2-2t)^{2}=4(1-t)^{2}.
Agora
x(t)\,y(t)^{2}=(1-t)\cdot 4(1-t)^{2}=4(1-t)^{3}.
Portanto
f\big(x(t),y(t)\big)=1+4(1-t)^{3}.

Passo 5

Agora montamos a integral usando a fórmula do Passo 2:
\int_{C}\left(1+xy^{2}\right)\,ds = \int_{0}^{1}\big(1+4(1-t)^{3}\big)\,\big|r'(t)\big|\,dt.
Como \big|r'(t)\big|=\sqrt{5} (constante), fatoramos:
\int_{C}\left(1+xy^{2}\right)\,ds = \sqrt{5}\int_{0}^{1}\big(1+4(1-t)^{3}\big)\,dt.

Passo 6

Calculemos os integrais dentro do colchete separadamente. Primeiro
\int_{0}^{1}1\,dt = 1.
Segundo, note que fazer a substituição u=1-t é útil para \int_{0}^{1}(1-t)^{3}dt. Com u=1-t temos du=-dt; quando t=0 então u=1, e quando t=1 então u=0. Assim
\int_{0}^{1}(1-t)^{3}\,dt = \int_{1}^{0} u^{3}(-du) = \int_{0}^{1} u^{3}\,du = \left[\tfrac{u^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4}.
Multiplicando por 4
4\int_{0}^{1}(1-t)^{3}\,dt = 4\cdot\tfrac{1}{4} = 1.
Somando as duas partes:
\int_{0}^{1}\big(1+4(1-t)^{3}\big)\,dt = 1 + 1 = 2.

Passo 7

Voltando ao fator \sqrt{5} do Passo 5, obtemos
\int_{C}\left(1+xy^{2}\right)\,ds = \sqrt{5}\cdot 2 = 2\sqrt{5}.
Interpretação rápida: o integrando médio ao longo da curva foi 2 (no sentido da integral em t), e o comprimento efetivo por unidade de t foi \sqrt{5}, daí o produto.

Resposta

2\sqrt{5}

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