Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
Passo 1
O enunciado dá a região
limitada por três curvas e pede o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
. Informações fornecidas:
Pergunta: determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno do eixo
.
Passo 2
Escolhendo o método de cálculo do volume: como as curvas estão dadas por
em função de
e a rotação é em torno do eixo
, a maneira mais direta é usar o método dos discos (ou anéis), que integra área de secções transversais perpendiculares ao eixo de rotação ao longo de
. Vou explicar essa ideia antes de aplicar.
Explicação do método dos discos/anéis:
- Para cada altura
fixa, a seção do sólido perpendicular ao eixo é um círculo (se a região atinge o eixo) ou um anel (se houver um “buraco” até o eixo). O raio externo é a distância do eixo até a curva mais afastada, e o raio interno é a distância do eixo até a curva mais próxima. - A área da secção em
é . - O volume total é a integral dessa área ao longo do intervalo de
:
Aqui, a curva
é o próprio eixo
, então não há buraco interno:
. A curva externa é
, então
.
Passo 3
Montando a integral do volume segundo o método dos discos:
Vou agora desenvolver a integral passo a passo, explicando cada transformação.
Passo 4
Expandimos o quadrado para facilitar a integração:
Portanto
Passo 5
Usamos a identidade trigonométrica para
:
Substituindo na integral:
Assim
Passo 6
Integramos termo a termo. Uma breve lembrança das primitivas:
-
. -
. -
.
Aplicando:
Portanto a primitiva
é
Passo 7
Avaliamo
nos limites
e
. Precisamos calcular
e
nessas alturas:
-
-
Análogo para o limite inferior: -
-
Portanto
Passo 8
A diferença
é
Lembrando do fator
que estava fora da integral, o volume é