Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
x=3+\sin y, x=0, y=\frac{-5 \pi}{2}, y=\frac{5 \pi}{2}

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada por três curvas e pede o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo y. Informações fornecidas:
x=3+\sin y,\qquad x=0,\qquad y=-\tfrac{5\pi}{2},\qquad y=\tfrac{5\pi}{2}.
Pergunta: determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno do eixo y.

Passo 2

Escolhendo o método de cálculo do volume: como as curvas estão dadas por x em função de y e a rotação é em torno do eixo y, a maneira mais direta é usar o método dos discos (ou anéis), que integra área de secções transversais perpendiculares ao eixo de rotação ao longo de y. Vou explicar essa ideia antes de aplicar.
Explicação do método dos discos/anéis:
  • Para cada altura y fixa, a seção do sólido perpendicular ao eixo y é um círculo (se a região atinge o eixo) ou um anel (se houver um “buraco” até o eixo). O raio externo R(y) é a distância do eixo y até a curva mais afastada, e o raio interno r(y) é a distância do eixo até a curva mais próxima.
  • A área da secção em y é \pi\big(R(y)^2-r(y)^2\big).
  • O volume total é a integral dessa área ao longo do intervalo de y:
V=\int_{y=a}^{y=b}\pi\big(R(y)^2-r(y)^2\big)\,dy.
Aqui, a curva x=0 é o próprio eixo y, então não há buraco interno: r(y)=0. A curva externa é x=3+\sin y, então R(y)=3+\sin y.

Passo 3

Montando a integral do volume segundo o método dos discos:
V=\pi\int_{y=-\tfrac{5\pi}{2}}^{\tfrac{5\pi}{2}}\big(3+\sin y\big)^2\,dy.
Vou agora desenvolver a integral passo a passo, explicando cada transformação.

Passo 4

Expandimos o quadrado para facilitar a integração:
\big(3+\sin y\big)^2=9+6\sin y+\sin^2 y.
Portanto
V=\pi\int_{-\tfrac{5\pi}{2}}^{\tfrac{5\pi}{2}}\big(9+6\sin y+\sin^2 y\big)\,dy.

Passo 5

Usamos a identidade trigonométrica para \sin^2 y:
\sin^2 y=\tfrac{1}{2}\big(1-\cos 2y\big).
Substituindo na integral:
9+6\sin y+\sin^2 y=9+6\sin y+\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cos 2y=\tfrac{19}{2}+6\sin y-\tfrac{1}{2}\cos 2y.
Assim
V=\pi\int_{-\tfrac{5\pi}{2}}^{\tfrac{5\pi}{2}}\left(\tfrac{19}{2}+6\sin y-\tfrac{1}{2}\cos 2y\right)\,dy.

Passo 6

Integramos termo a termo. Uma breve lembrança das primitivas:
  • \displaystyle\int \,dy = y.
  • \displaystyle\int \sin y\,dy = -\cos y.
  • \displaystyle\int \cos 2y\,dy = \tfrac{1}{2}\sin 2y.
Aplicando:
\int\left(\tfrac{19}{2}+6\sin y-\tfrac{1}{2}\cos 2y\right)\,dy =\tfrac{19}{2}y-6\cos y-\tfrac{1}{4}\sin 2y + C.
Portanto a primitiva F(y) é
F(y)=\tfrac{19}{2}y-6\cos y-\tfrac{1}{4}\sin 2y.

Passo 7

Avaliamo F nos limites y=\tfrac{5\pi}{2} e y=-\tfrac{5\pi}{2}. Precisamos calcular \cos e \sin nessas alturas:
  • \cos\big(\tfrac{5\pi}{2}\big)=\cos\big(2\pi+\tfrac{\pi}{2}\big)=\cos\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0.
  • \sin\big(2\cdot\tfrac{5\pi}{2}\big)=\sin(5\pi)=0.
    Análogo para o limite inferior:
  • \cos\big(-\tfrac{5\pi}{2}\big)=\cos\big(\tfrac{5\pi}{2}\big)=0.
  • \sin\big(2\cdot(-\tfrac{5\pi}{2})\big)=\sin(-5\pi)=0.
Portanto
F\!\left(\tfrac{5\pi}{2}\right)=\tfrac{19}{2}\cdot\tfrac{5\pi}{2}-6\cdot 0-\tfrac{1}{4}\cdot 0=\tfrac{95\pi}{4},
F\!\left(-\tfrac{5\pi}{2}\right)=\tfrac{19}{2}\cdot\left(-\tfrac{5\pi}{2}\right)-6\cdot 0-\tfrac{1}{4}\cdot 0=-\tfrac{95\pi}{4}.

Passo 8

A diferença F\big(\tfrac{5\pi}{2}\big)-F\big(-\tfrac{5\pi}{2}\big) é
\tfrac{95\pi}{4}-\left(-\tfrac{95\pi}{4}\right)=\tfrac{95\pi}{2}.
Lembrando do fator \pi que estava fora da integral, o volume é
V=\pi\cdot \tfrac{95\pi}{2}=\tfrac{95}{2}\pi^2.

Resposta

\dfrac{95}{2}\pi^2

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