Calcule a integral de linha \int_{C}\left(1-x^{2}\right) d s, onde C é a circunferência x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\left(1-x^{2}\right)\,ds,
onde C é a circunferência dada por x^{2}+y^{2}=1. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função escalar a integrar ao longo de C é f(x,y)=1-x^{2}.
  • A curva C é a circunferência de raio 1 centrada na origem (isto é, a circunferência unitária).
  • A integral é do tipo \int_C f\,ds, ou seja, é uma integral de comprimento de arco (integral de uma função escalar ao longo de uma curva), que envolve o elemento de comprimento ds.

Passo 2

Lembra do que é a integral de linha de uma função escalar? A fórmula que vamos usar é a seguinte: se uma curva C é dada por uma parametrização
x=x(t),\qquad y=y(t),\qquad t\in[a,b],
então a integral de linha de uma função escalar f(x,y) ao longo de C é
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\,dt.
Explicando as partes:
  • x(t) e y(t) descrevem a posição ao longo da curva quando o parâmetro vale t.
  • x'(t) e y'(t) são as derivadas dessas componentes em relação a t.
  • O fator \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} é justamente a velocidade escalar da parametrização e dá o diferencial de comprimento ds em termos de dt.

Passo 3

Precisamos escolher uma parametrização simples da circunferência unitária. A parametrização padrão é
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Aqui:
  • quando t=0 temos (x,y)=(1,0);
  • quando t varia de 0 a 2\pi percorremos a circunferência completa uma vez no sentido anti-horário.
    Essa parametrização é ótima porque as derivadas são simples e a velocidade tem módulo constante.

Passo 4

Calculemos as derivadas e o ds. Derivando:
x'(t) = -\sin t,\qquad y'(t)=\cos t.
Portanto o fator dentro da raiz fica
\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2} = (-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2} = \sin^{2}t+\cos^{2}t = 1.
Assim
ds = \sqrt{1}\,dt = dt.
Ou seja, para essa parametrização o diferencial de comprimento é simplesmente dt.

Passo 5

Agora substituímos tudo na fórmula da integral. Temos f(x,y)=1-x^{2}, e com x(t)=\cos t obtemos f\big(x(t),y(t)\big)=1-\cos^{2}t. Usando ds=dt,
\int_{C}\left(1-x^{2}\right)\,ds = \int_{0}^{2\pi} \big(1-\cos^{2}t\big)\,dt.
Simplificamos a expressão dentro da integral usando a identidade trigonométrica
1-\cos^{2}t=\sin^{2}t.
Portanto
\int_{0}^{2\pi} \big(1-\cos^{2}t\big)\,dt = \int_{0}^{2\pi} \sin^{2}t\,dt.

Passo 6

Para integrar \sin^{2}t usamos a identidade de redução de dobro ângulo:
\sin^{2}t = \frac{1-\cos(2t)}{2}.
Substituindo,
\int_{0}^{2\pi} \sin^{2}t\,dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1-\cos(2t)}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} 1\,dt - \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2t)\,dt.
Calculemos cada termo separadamente:
\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} 1\,dt = \frac{1}{2}\cdot(2\pi) = \pi.
E como \cos(2t) é função periódica com período \pi, seu integral em qualquer intervalo de comprimento 2\pi é zero:
\int_{0}^{2\pi}\cos(2t)\,dt = \left.\frac{\sin(2t)}{2}\right|_{0}^{2\pi} = \frac{\sin(4\pi)-\sin(0)}{2} = 0.
Logo
\int_{0}^{2\pi} \sin^{2}t\,dt = \pi - \frac{1}{2}\cdot 0 = \pi.

Passo 7

Concluímos que a integral de linha pedida vale \pi. Fizemos uma parametrização natural da circunferência, calculamos ds a partir das derivadas, substituímos na integral e usamos identidades trigonométricas para integrar à mão, sem calculadora. Vai dar tudo certo na prova — respira, você conseguiu!

Resposta

\pi

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