Calcule a integral de linha \int_{C}\left(1-x^{2}\right) d s, onde C é a circunferência x^{2}+y^{2}=1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\left(1-x^{2}\right)\,ds,
onde C é a circunferência dada por x^{2}+y^{2}=1. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A função escalar a integrar ao longo de C é f(x,y)=1-x^{2}.
A curva C é a circunferência de raio 1 centrada na origem (isto é, a circunferência unitária).
A integral é do tipo \int_C f\,ds, ou seja, é uma integral de comprimento de arco (integral de uma função escalar ao longo de uma curva), que envolve o elemento de comprimento ds.
Passo 2
Lembra do que é a integral de linha de uma função escalar? A fórmula que vamos usar é a seguinte: se uma curva C é dada por uma parametrização
x=x(t),\qquad y=y(t),\qquad t\in[a,b],
então a integral de linha de uma função escalar f(x,y) ao longo de C é
quando t varia de 0 a 2\pi percorremos a circunferência completa uma vez no sentido anti-horário.
Essa parametrização é ótima porque as derivadas são simples e a velocidade tem módulo constante.
Concluímos que a integral de linha pedida vale \pi. Fizemos uma parametrização natural da circunferência, calculamos ds a partir das derivadas, substituímos na integral e usamos identidades trigonométricas para integrar à mão, sem calculadora. Vai dar tudo certo na prova — respira, você conseguiu!